探究|提高数学思维的灵活性

前言

没有一个学生不想让自己的思维变得非常灵活，所以我们需要在这一方面做些工作。

训练途径

• 储备必要的数学模型

比如，平行线法中求切点的模型；累加法模型。

• 学会必要的数学转化和划归

参见转化划归思想。

• 做好每道高价值试题的反思总结

• 做好数形转换，

• 视角转化 三角形中看成一个角，两个角；线线垂直的视角转化，三棱锥的转换；

• 类比思维的运用 等面积法 等体积法

• 一般与特殊的转换

• 直接与间接的转换

• 总结章节知识，制作思维导图、建立知识之间的关联；

案例剖析

案例1【2019届宝鸡市高三理科数学质量检测一第12题】设函数(f(x)=(x-a)^2+(lnx^2-2a)^2)，其中(x>0)，(ain R)，存在(x_0)，使得(f(x_0)leq cfrac{4}{5})成立，则实数(a)等于【】

$A.1$ $B.cfrac{1}{5}$ $C.cfrac{2}{5}$ $D.cfrac{1}{2}$

• 本题目中涉及到的数学模型

①能成立问题模型

②平面内任意两点间的距离公式，(P(x_1，y_1))，(Q(x_2，y_2))，则(|PQ|=sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2})；

③平行线法求曲线上动点到直线的最小距离模型

• 转化划归，

①函数(f(x))的最小值应该是动点((x，lnx^2))和动点((a，2a))之间的最小距离的平方，

②动点((x，lnx^2))即函数(y=lnx^2=2lnx)上的任意一点((x，lnx^2))；动点((a，2a))即函数(y=2x)上的任意一点((a，2a))；

• 具体解答如下：

法1分析：由于题目告诉我们，存在(x_0)，使得(f(x_0)leq cfrac{4}{5})成立，

则需要我们求解函数(f(x))的最小值，最容易想到的就是利用导数求解函数的最小值，

这个最小值中会含有参数(a)，让其小于等于(cfrac{4}{5})，求解即可。

但是观察函数的特征，你会感觉这可能不是一个很好的选择。

那么有没有更好的选择呢，详细观察所给的函数结构特征，发现其和平面内任意两点见的距离公式很接近，

所以我们可以这样考虑：

函数(f(x))的最小值应该是点((x，lnx^2))和点((a，2a))之间的最小距离的平方，再次转化为

函数(y=g(x)=lnx^2=2lnx)上的动点((x，y))与函数(y=h(x)=2x)上的动点((m，n))之间的最小距离的平方，

从而问题转化为先求解曲线(y=2lnx)上的动点到直线(y=2x)的最小距离了。

利用平行线法，设直线(y=2x+m)与曲线相切于点((x_0，y_0))，

则有(g'(x_0)=cfrac{2}{x_0}=2)，解得(x_0=1)，

代入(y=2lnx)，得到(y_0=0)，即切点为((1，0))点，

代入(y=2x+m)，得到(m=-2)

即切线为(y=2x-2)，此时函数(f(x))的最小值，也就是曲线上的点((1，0))到直线(y=2x)的点线距的平方，

也是两条直线(y=2x)和(y=2x-2)之间的线线距的平方，其中线线距(d=cfrac{|2|}{sqrt{2^2+1^2}}=cfrac{2}{sqrt{5}})

故(d^2=cfrac{4}{5})，说明这样的(x_0)是唯一存在的，且(x_0=1)，

那么(a)为多少?该如何求解呢？由于(a)是使得函数(f(x))取得最小值的参数，

即本题目中应该是点((1，0))在直线(y=2x)上的垂足的横坐标。

由于过点((1，0))和(y=2x)垂直的直线为(y-0=-cfrac{1}{2}(x-1))，

联立(left{egin{array}{l}{y=2x}\{y=-cfrac{1}{2}(x-1)}end{array} ight.)，解得(x=cfrac{1}{5})，

即(a=cfrac{1}{5})，故选(B)。

法2，再思考，再补充。

案例2【2018届宝鸡市高三理科数学质量检测一第12题】在平面直角坐标系中的(A、B)两点满足：①点(A、B)都在函数(f(x))上；②点(A、B)关于原点对称，则称点((A，B))是函数(f(x))的一个“姊妹点对”。点((A，B))和点((B，A))可以看作同一个“姊妹点对”，已知函数(f(x)=egin{cases}x^2+2x，&x<0\cfrac{2}{e^x}，&xge 0end{cases})，则函数(f(x))的“姊妹点对”有【】个

$A.0$ $B.1$ $C.2$ $D.3$

分析：当我们做出函数的整体图像后，应该想到新定义就是问我们：分段函数的一段上有几个点和分段函数另一段上的点是关于原点对称的。

本题目考查思维之处在于，你能否想到将一个分段函数的两段图像上的点关于原点的对称问题，

转化为其一段图像如(y=cfrac{2}{e^x}(x>0))和另一段图像(y=x^2+2x(xleq 0))关于原点对称的图像(y=-x^2+2x(x>0))的交点个数问题。

另一个考查之处就是手工作图像的能力。
做出适合题意的图像，由图像可知“姊妹点对”有2个，故选C。

反思总结：1、新定义的理解及运用，作函数的图像，转化划归，数形结合，

2、新定义题目考查学生快速理解和简单运用数学概念的素养；

3、题目的转化划归能力的考查。

案例3【与累加法有关的归纳推理】

下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第(n)个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为(f(n))．

(1)求出(f(2))，(f(3))，(f(4))，(f(5))；

分析：由题意可知，

(f(1)=3)，

(f(2)=f(1)+3+3 imes 2=12)，

(f(3)=f(2)+3+3 imes 4=27)，

(f(4)=f(3)+3+3 imes 6=48)，

(f(5)=f(4)+3+3 imes 8=75)，

(2)找出(f(n))与(f(n＋1))的关系，并求出(f(n))的表达式．

分析：由题意及(1)可知，

(f(n+1)=f(n)+3+3 imes 2n=f(n)+6n+3)，

即(f(n+1)-f(n)=6n+3)，

则(f(2)-f(1)=6 imes 1+3)，

(f(3)-f(2)=6 imes 2+3)，

(f(4)-f(3)=6 imes 3+3)，

(cdots)，(cdots)，

(f(n)-f(n-1)=6 imes (n-1)+3)，

利用累加法可知，当(nge 2)时，

(f(n)-f(1)=6[1+2+cdots+(n-1)]+3(n-1))

(=6 imes cfrac{n(n-1)}{2}+3(n-1)=3n^2-3)，

即(f(n)=3n^2)，

当(n=1)时，满足上式，

故(f(n)=3n^2(nin N^*))。

总结提升：1、注意观察能力、归纳总结能力的培养。

2、注意代数式中形所带有的信息，注意数学思维的层次性。

3、注意数学方法的恰当使用，如累加法。

案例5【宝鸡市二检文理科第12题】已知函数(f(x)=a^x)与(g(x)=log_ax(a>0且a eq 1))的图像有两个公共点，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(0，e^{frac{1}{e}})$ $B.(1，e^{frac{2}{e}})$ $C.(1，sqrt{e})$ $D.(1，e^{frac{1}{e}})$

分析：先做出如右图所示的图像，从形上分析，由于函数(f(x)=a^x)与(g(x)=log_ax(a>0且a eq 1))互为反函数，其图像关于直线(y=x)对称，

故两条曲线相交时，直线(y=x)必然也会过他们的交点，这样我们将图形简化一下，

即要保证两条曲线有两个交点，只需要一区一直两条线有两个交点就可以了，

此时我们从形上已经不好把握了，需要转换到数的角度进行计算。

即函数(y=a^x)与函数(y=x)的图像有两个交点，也即方程(a^x=x)要有两个不同的实数根。

两边同时取自然对数，得到(lna^x=lnx)，即(xlna=lnx)，注意到图像的交点的(x eq 0)，

故分离参数得到(lna=cfrac{lnx}{x})，

则要方程使(lna=cfrac{lnx}{x})有两个不同的根，需要函数(y=lna)和(g(x)=cfrac{lnx}{x})要有两个交点，这样又转换到形了。

以下用导数方法，判断函数(g(x)=cfrac{lnx}{x})的单调性，得到在((0，e))上单调递增，在((e，+infty))上单调递减，做出其函数图像如右图所示，

故有(0<lna<cfrac{1}{e})，即(ln1<lna<lne^{frac{1}{e}})，故(ain (1，e^{frac{1}{e}}))，选(D).

解后反思：

①、数到形，形到数，二者之间的转换在高三数学的学习中非常普遍。

②、熟练掌握函数(f(x)=cfrac{lnx}{x})，以及(g(x)=lnxpm x)，(h(x)=xcdot lnx)等的函数的图像和性质，在解题中会有不小的惊喜。

③、在分离常数时，可以分离得出(lna=cfrac{lnx}{x})，还可以分离得到(a=e^{frac{lnx}{x}})，但是明显第一种分离方式更有利于计算，此处使用了整体思想。

提升策略

• 深入思考数学概念怎么深入学习

• 深入理解代数表达式的内涵^[1]

• 深入思考数学公式怎么理解透彻，尤其是其内涵。

• 深入思考数学模型怎么建立完善

• 正面思考解决和反面思考解决相结合，

比如排列组合中，正面求解使用直接法和反面求解使用间接法。

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1. 比如程序框图的循环体中有这样一句，(t= log_3t)
   则执行第一次循环，左边的(t)的内涵为(log_3t)；即(log_3tRightarrow t)；
   则执行第二次循环，左边的(t)的内涵为(log_3(log_3t))；即(log_3(log_3t)Rightarrow t)；
   则执行第三次循环，左边的(t)的内涵为(log_3[log_3(log_3t)])；即(log_3[log_3(log_3t)]Rightarrow t)； ↩︎