前言
研究各种常见的数学条件的给出方式，能帮助我们更好的理解题意，更快的入题。
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知识点列举
案例：集合的包含关系给出方式
(Asubseteq B)
(Longleftrightarrow) (Acap B=A)
(Longleftrightarrow) (Acup B=B)
(Longleftrightarrow) (C_UBsubseteq C_UA)
(Longleftrightarrow) (Acap(C_UB)=varnothing)
案例：命题真假的给出方式
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若(pland q)为假，则(p)和(q)中至少有一个为假； 若(plor q)为真，则(p)和(q)中至少有一个为真；
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若(pland q)为真，则(p)和(q)都为真； 若(plor q)为假，则(p)和(q)都为假；
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若( eg pland q)为真，则( eg p)和(q)都为真，即(p)为假且(q)为真；
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若( eg plor q)为假，则( eg p)和(q)都为假，即(p)为真且(q)为假；
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“若(plor q)为真命题，(pland q)为假命题”，则意味着(p)、(q)必然一真一假，需要分类讨论：(p)真(q)假；或(p)假(q)真；
案例：正切值的给出方式
- 限定条件以简单变形形式给出，如已知(tan heta=2)，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。[1]
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已知(cfrac{sin heta-cos heta}{sin heta+cos heta}=2)，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
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已知( heta)角的终边过点((4a，-3a)(a>0))，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
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已知( heta)角的终边在直线(3x+4y=0)上，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
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已知如图，( an heta=AT)，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
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已知(sin heta=2cos heta)，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
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已知( an2 heta=-cfrac{4}{3})，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
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若倾斜角为( heta)的直线(l)与曲线(y=x^4)相切于点((1，1))，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
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已知(sin(cfrac{pi}{6}- heta)=cos(cfrac{pi}{6}+ heta))，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
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已知(sin(pi- heta)=2sin(cfrac{pi}{2}+ heta))，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
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已知直线(2x-y-1=0)的倾斜角为( heta)，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
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已知点(( heta，0))为函数(f(x)=sinx+2cosx)图像的一个对称中心，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
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已知直线(l_1:xcos heta+2y=0)与直线(l_2:3x+ysin heta+3=0)垂直，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
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已知直线(l_1:xcos heta+2y=0)与直线(l_2:xsin heta+3y+3=0)平行，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。
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以双曲线的渐近线的夹角形式给出[2]
案例：直线斜率的给出方式
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利用斜率(k= analpha)的定义；
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利用过两点的坐标，
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利用导函数(k=f'(x_0))给出，
如若倾斜角为(alpha)的直线(l)与曲线(y=x^4)相切于点((1，1))，则(k=tanalpha=y'|_{x=1}=4x^3|_{x=1}=4)。
- 利用函数的切线的方向向量的坐标。
案例 ： 圆的给出方式
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定义式：(|OA|=r)
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标准式方程：((x-a)^2+(y-b)^2=r^2)；
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一般式方程(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0))；
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直径式方程((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0)(其中圆的直径的端点是(A(x_1，y_1))、(B(x_2，y_2)))。
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参数式：(x=rcdot cos heta，y=rcdot sin heta)或((rcdot cos heta，rcdot sin heta))
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极坐标式：( ho=3， hetain [0，2pi))
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向量式：已知点(M)为曲线上的动点，点(A,B)为两个定点，且满足关系(overrightarrow{MA}cdotoverrightarrow{MB}=0)，则点(M)的轨迹方程是圆。[3]
案例 ：三点共线的给出方式或证明思路
- 向量表示形式：(overrightarrow{OC}=lambdaoverrightarrow{OA}+(1-lambda)overrightarrow{OB})[4]或(overrightarrow{AB}//overrightarrow{AC})
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距离表示形式：(|AB|+|BC|=|AC|)
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斜率表示形式:(k_{AB}=k_{AC})
案例 ： 等差数列的给出方式
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直接给出：(a_{n+1}-a_n=3)
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变形给出：(a_{n+1}=a_n+3)
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运算给出：((a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n)=0)，(a_n>0)
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向量给出：(overrightarrow{P_nP_{n+1}}=(1，a_{n+1}-a_n)=(1，3))
案例 ：对称中心的给出方式
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直接给出：如函数(f(x)=sin(x+phi))的对称中心是((cfrac{pi}{3}，0))
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间接给出：如函数(f(x)=sin(x+phi))过点是((cfrac{pi}{3}，0))，则点((cfrac{pi}{3}，0))必是函数的对称中心
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间接给出：如函数(f(x)=sin(x+phi))，满足(int_{0}^{frac{2pi}{3}}f(x)\, dx=0)，则点((cfrac{pi}{3}，0))必是函数的对称中心
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隐晦给出：如函数满足(f(x)+f(cfrac{2pi}{3}-x)=0)，则点((cfrac{pi}{3}，0))必是函数的对称中心
案例 ：相等关系的给出方式
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直接给出：如(f(2)=4)，
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以不等关系给出：如(2xleq f(x)leq cfrac{1}{2}x^2+2)对任意(xin R)恒成立，则赋值可得(4leq f(2)leq 4)，即(f(2)=4)；
再比如(|k|leq 0)，即等于给出(k=0)；((m-1)^2leq 0)，即等于给出(m=1)；
案例 ：不等式的解的给出方式
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直接给出：(x=1)是不等式(x^2-2x+aleq 0)的解，求(a)的范围。
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间接给出：集合({1})是不等式(x^2-2x+aleq 0)的解集(A)的真子集，求(a)的范围。
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间接给出：(x=1)满足不等式(x^2-2x+aleq 0)是真命题，求(a)的范围；(x=1)满足不等式(x^2-2x+a> 0)是假命题，求(a)的范围。
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隐晦给出：集合(A={xmid x^2-2x+a>0})，(1 otin A)，求(a)的范围；
案例 ：函数的性质的给出方式
案例 ：ω的给出方式
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直接给出：函数(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{3}))的图像的横坐标缩短为原来的(cfrac{1}{3})，即新的(omega=3)；
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间接给出：(f(x)=2sin(x+cfrac{pi}{3}))的图像的横坐标扩大了(2)倍，即图像的横坐标扩大为原来的(3)倍，即新的(omega=cfrac{1}{3})；
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间接给出：(f(x)=2tanomega x(omega>0))的图像的相邻两支截直线(y=2)所得的线段长为(cfrac{pi}{2})，即(T=cfrac{pi}{omega}=cfrac{pi}{2})，则(omega=2)；
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间接给出：函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻的两个最高(低)点之间的距离是3，即(T=3)，求得(omega=cfrac{2pi}{3})；
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间接给出：函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻的最高点和最低点之间的距离是5，由勾股定理求得(cfrac{T}{2}=3)，则(omega=cfrac{pi}{3})；
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间接给出：函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻的两个零点之间的距离是3，即(cfrac{T}{2}=3)，则(omega=cfrac{pi}{3})；
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间接给出：函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻的两条对称轴之间的距离是3，即(cfrac{T}{2}=3)，则(omega=cfrac{pi}{3})；
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间接给出：函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻对称轴和零点之间的距离是3，即(cfrac{T}{4}=3)，则(omega=cfrac{pi}{6})；
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间接给出：函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻的最高点和零点之间的距离是(2sqrt{2})，由勾股定理求得(cfrac{T}{4}=2)，则(omega=cfrac{pi}{4})；
案例 ：二次函数的系数的给出方式
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直接给出：已知二次函数(f(x)=x^2-ax+a(a>0，xin R))的系数(a=?)，
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间接给出：已知二次函数(f(x)=x^2-ax+a(a>0，xin R))，有且只有一个零点，则(Delta =0)，解得(a=4)；
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间接给出：已知二次函数(f(x)=x^2-ax+a(a>0，xin R))，(f(x))的值域为([0，+infty))，则(Delta =0)，解得(a=4)；
案例 ：数列的周期性的给出方式：
- (a_{n+2}=a_n)或(a_{n+2}-a_n=0)；则数列的(T=2)；
分析：类比(f(n+2)=f(n))，再类比(f(x+2)=f(x))；
- (a_{n+2}=-a_n)或 (a_{n+2}+a_n=0)；则数列的(T=4)；
分析：类比(f(n+2)=-f(n))，再类比(f(x+2)=-f(x))；
- (a_{n+2}=cfrac{k}{a_n})或(a_{n+2}cdot a_n=k)；(k)为常数；等积数列，则数列的(T=4)；
分析：类比(f(n+2)=cfrac{k}{f(n)})，再类比(f(x+2)=cfrac{k}{f(x)})；
- (a_{n+2}=a_{n+1}-a_n)或(a_{n+2}+a_n=a_{n+1})；则数列的(T=6)；
分析：类比(f(n+2)=f(n+1)-f(n))，再类比(f(x+2)=f(x+1)-f(x))；
- (a_{n+1}=(-1)^n(a_n+1))；通过计算前面的有限项得到周期；
案例 ：分段函数的给出方式
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直接给出：函数(f(x)=egin{cases}2x+a,&x< 1\-x-2a,&xge 1 end{cases}).
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间接给出：已知奇函数(f(x))满足(x>0)时，(f(x)=2^x)，则利用奇偶性可知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{2^x，x>0}\{0，x=0}\{-2^{-x}，x<0}end{array} ight.)
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用程序框图给出：
案例 ：线段等分点的向量给出方式
二等分点(中点)：(overrightarrow{OA}=-overrightarrow{OB})，或(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}=overrightarrow{0})，则点(O)是(AB)的中点；即(|OA|=|OB|)；
三等分点：(overrightarrow{OA}=-2overrightarrow{OB})，或(overrightarrow{OA}+2overrightarrow{OB}=overrightarrow{0})，则点(O)是(AB)的靠近(B)的三等分点；即(|OA|=2|OB|)；
相关变形技巧：(overrightarrow{OA}+2overrightarrow{OB}+3overrightarrow{OC}=vec{0})，
将其系数做恰当的拆分得到，((overrightarrow{OA}+overrightarrow{OC})+2(overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC})=vec{0})，
如图即(2overrightarrow{OD}=-4overrightarrow{OE})，即(overrightarrow{OD}=-2overrightarrow{OE})，
即可知点(O)一定在(Delta ABC)的中位线(DE)上，且在中位线上靠近点(E)的三等分点处。
四等分点：(overrightarrow{OA}=-3overrightarrow{OB})，或(overrightarrow{OA}+3overrightarrow{OB}=overrightarrow{0})，则点(O)是(AB)的靠近(B)的四等分点；即(|OA|=3|OB|)；
案例 ：三角形的重心的给出方式
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直接给出：点(O)是( riangle ABC)的重心；
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间接给出：点(O)是( riangle ABC)的边(BC)的中线上的靠近(BC)的三等分点；
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间接给出：(overrightarrow{OA}=-2overrightarrow{OB})，点(O)是中位线(DE)的三等分点，是( riangle BCD)的重心；
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间接给出：(overrightarrow{OA}+2overrightarrow{OB}+3overrightarrow{OC}=vec{0})，点(O)是中位线(DE)的三等分点，是( riangle BCD)的重心；
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间接给出：(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}=3overrightarrow{AD})，点(D)是( riangle ABC)的重心；
案例：长度型几何概型的事件的给出方式
在区间([-5，5])上随机取一个数(k)，则事件(A：)“直线(y=kx)与圆((x-5)^2+y^2=9)相交”发生的概率为____________。
则①以直线和圆相交的方式给出；
比如，在区间([-1，1])上随机取一个数(k)，则事件“直线(y=kx)与圆((x-5)^2+y^2=9)相交”发生的概率为____________.
②以定义域的方式给出；
比如，记函数(f(x)=sqrt{6+x-x^2})的定义域为(D)，在区间([4，5])上随机取一个数(x)，则(xin D)的概率为______________。
③以函数单调递增的方式给出，比如使得函数(f(x)=x^3+mx^2+3x)在(R)上单调递增的概率，即求(f'(x)ge 0)的解集；
④以不等式的解集形式给出，比如(A={xmid cfrac{x-1}{2-x}>0})；
⑤以三角不等式的形式给出，比如(A：sinx+sqrt{3}cosxleq 1)；
详解：(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta}=cfrac{2sin heta cos heta-cos^2 heta}{2sin^2 heta+cos^2 heta})
(=cfrac{2tan heta-1}{2tan^2 heta+1}=cfrac{2 imes 2-1}{2 imes2^2+1}=cfrac{1}{3})
【解后反思】分子分母都是关于(sin heta)和(cos heta)的二次齐次式时，给分子分母同除以(cos^2 heta)，转化为关于(tan heta)的一元函数问题来求解，代值运算即可。 ↩︎例 (2018宝鸡市二检)双曲线(cfrac{y^2}{4}-x^2=1)的渐近线所夹的角中的锐角为(alpha)，求(cos2alpha)的值。
分析：由题目可以知道，其渐近线为(y=pm 2x)，
取其一(y=2x)，则其倾斜角为( heta)，可知(tan heta=2)，
求(tanalpha)的思路之一：
又知道( heta+cfrac{alpha}{2}=cfrac{pi}{2})，则( heta=cfrac{pi}{2}-cfrac{alpha}{2})，带入上式得到，
(tan heta=tan(cfrac{pi}{2}-cfrac{alpha}{2})=cotcfrac{alpha}{2}=2)，即(cotcfrac{alpha}{2}=2)，
则(tancfrac{alpha}{2}=cfrac{1}{2})，由(tanalpha=cfrac{2tancfrac{alpha}{2}}{1-tan^2cfrac{alpha}{2}})得到，(tanalpha=cfrac{4}{3})。
求(tanalpha)的思路之二：
用三角函数的定义，在(y=2x)上取点((1，2))，(tancfrac{alpha}{2}=cfrac{1}{2})，
由(tanalpha=cfrac{2tancfrac{alpha}{2}}{1-tan^2cfrac{alpha}{2}})得到，(tanalpha=cfrac{4}{3})。
到此，题目转化为已知(tanalpha=cfrac{4}{3})，求(cos2alpha=？)的值。
(cos2alpha=cfrac{cos^2alpha-sin^2alpha}{cos^2alpha+sin^2alpha}=cfrac{1-tan^2alpha}{1+tan^2alpha}=-cfrac{7}{25})。 ↩︎引申：若(overrightarrow{MA}cdotoverrightarrow{MB}>0)，则点(M)在以(AB)为直径的圆外部；
若(overrightarrow{MA}cdotoverrightarrow{MB}<0)，则点(M)在以(AB)为直径的圆内部； ↩︎
