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  • 常见数学条件的给出方式

    前言

    研究各种常见的数学条件的给出方式,能帮助我们更好的理解题意,更快的入题。

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    知识点列举

    案例:集合的包含关系给出方式

    (Asubseteq B)

    (Longleftrightarrow) (Acap B=A)

    (Longleftrightarrow) (Acup B=B)

    (Longleftrightarrow) (C_UBsubseteq C_UA)

    (Longleftrightarrow) (Acap(C_UB)=varnothing)

    案例:命题真假的给出方式

    • (pland q)为假,则(p)(q)中至少有一个为假; 若(plor q)为真,则(p)(q)中至少有一个为真;

    • (pland q)为真,则(p)(q)都为真; 若(plor q)为假,则(p)(q)都为假;

    • ( eg pland q)为真,则( eg p)(q)都为真,即(p)为假且(q)为真;

    • ( eg plor q)为假,则( eg p)(q)都为假,即(p)为真且(q)为假;

    • “若(plor q)为真命题,(pland q)为假命题”,则意味着(p)(q)必然一真一假,需要分类讨论:(p)(q)假;或(p)(q)真;

    案例:正切值的给出方式

    • 限定条件以简单变形形式给出,如已知(tan heta=2),求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。[1]
    • 已知(cfrac{sin heta-cos heta}{sin heta+cos heta}=2),求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

    • 已知( heta)角的终边过点((4a,-3a)(a>0)),求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

    • 已知( heta)角的终边在直线(3x+4y=0)上,求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

    • 已知如图,( an heta=AT),求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

    • 已知(sin heta=2cos heta),求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

    • 已知( an2 heta=-cfrac{4}{3}),求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

    • 若倾斜角为( heta)的直线(l)与曲线(y=x^4)相切于点((1,1)),求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

    • 已知(sin(cfrac{pi}{6}- heta)=cos(cfrac{pi}{6}+ heta)),求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

    • 已知(sin(pi- heta)=2sin(cfrac{pi}{2}+ heta)),求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

    • 已知直线(2x-y-1=0)的倾斜角为( heta),求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

    • 已知点(( heta,0))为函数(f(x)=sinx+2cosx)图像的一个对称中心,求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

    • 已知直线(l_1:xcos heta+2y=0)与直线(l_2:3x+ysin heta+3=0)垂直,求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

    • 已知直线(l_1:xcos heta+2y=0)与直线(l_2:xsin heta+3y+3=0)平行,求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

    • 以双曲线的渐近线的夹角形式给出[2]

    案例:直线斜率的给出方式

    • 利用斜率(k= analpha)的定义;

    • 利用过两点的坐标,

    • 利用导函数(k=f'(x_0))给出,

    如若倾斜角为(alpha)的直线(l)与曲线(y=x^4)相切于点((1,1)),则(k=tanalpha=y'|_{x=1}=4x^3|_{x=1}=4)

    • 利用函数的切线的方向向量的坐标。

    案例 : 圆的给出方式

    • 定义式:(|OA|=r)

    • 标准式方程:((x-a)^2+(y-b)^2=r^2)

    • 一般式方程(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0))

    • 直径式方程((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0)(其中圆的直径的端点是(A(x_1,y_1))(B(x_2,y_2)))。

    • 参数式:(x=rcdot cos heta,y=rcdot sin heta)((rcdot cos heta,rcdot sin heta))

    • 极坐标式:( ho=3, hetain [0,2pi))

    • 向量式:已知点(M)为曲线上的动点,点(A,B)为两个定点,且满足关系(overrightarrow{MA}cdotoverrightarrow{MB}=0),则点(M)的轨迹方程是圆。[3]

    案例 :三点共线的给出方式或证明思路

    • 向量表示形式:(overrightarrow{OC}=lambdaoverrightarrow{OA}+(1-lambda)overrightarrow{OB})[4](overrightarrow{AB}//overrightarrow{AC})
    • 距离表示形式:(|AB|+|BC|=|AC|)

    • 斜率表示形式:(k_{AB}=k_{AC})

    案例 : 等差数列的给出方式

    • 直接给出:(a_{n+1}-a_n=3)

    • 变形给出:(a_{n+1}=a_n+3)

    • 运算给出:((a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n)=0)(a_n>0)

    • 向量给出:(overrightarrow{P_nP_{n+1}}=(1,a_{n+1}-a_n)=(1,3))

    案例 :对称中心的给出方式

    • 直接给出:如函数(f(x)=sin(x+phi))的对称中心是((cfrac{pi}{3},0))

    • 间接给出:如函数(f(x)=sin(x+phi))过点是((cfrac{pi}{3},0)),则点((cfrac{pi}{3},0))必是函数的对称中心

    • 间接给出:如函数(f(x)=sin(x+phi)),满足(int_{0}^{frac{2pi}{3}}f(x)\, dx=0),则点((cfrac{pi}{3},0))必是函数的对称中心

    • 隐晦给出:如函数满足(f(x)+f(cfrac{2pi}{3}-x)=0),则点((cfrac{pi}{3},0))必是函数的对称中心

    案例 :相等关系的给出方式

    • 直接给出:如(f(2)=4)

    • 以不等关系给出:如(2xleq f(x)leq cfrac{1}{2}x^2+2)对任意(xin R)恒成立,则赋值可得(4leq f(2)leq 4),即(f(2)=4)

    再比如(|k|leq 0),即等于给出(k=0)((m-1)^2leq 0),即等于给出(m=1)

    案例 :不等式的解的给出方式

    • 直接给出:(x=1)是不等式(x^2-2x+aleq 0)的解,求(a)的范围。

    • 间接给出:集合({1})是不等式(x^2-2x+aleq 0)的解集(A)的真子集,求(a)的范围。

    • 间接给出:(x=1)满足不等式(x^2-2x+aleq 0)是真命题,求(a)的范围;(x=1)满足不等式(x^2-2x+a> 0)是假命题,求(a)的范围。

    • 隐晦给出:集合(A={xmid x^2-2x+a>0})(1 otin A),求(a)的范围;

    案例 :函数的性质的给出方式

    案例 :ω的给出方式

    • 直接给出:函数(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{3}))的图像的横坐标缩短为原来的(cfrac{1}{3}),即新的(omega=3)

    • 间接给出:(f(x)=2sin(x+cfrac{pi}{3}))的图像的横坐标扩大了(2)倍,即图像的横坐标扩大为原来的(3)倍,即新的(omega=cfrac{1}{3})

    • 间接给出:(f(x)=2tanomega x(omega>0))的图像的相邻两支截直线(y=2)所得的线段长为(cfrac{pi}{2}),即(T=cfrac{pi}{omega}=cfrac{pi}{2}),则(omega=2)

    • 间接给出:函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻的两个最高(低)点之间的距离是3,即(T=3),求得(omega=cfrac{2pi}{3})

    • 间接给出:函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻的最高点和最低点之间的距离是5,由勾股定理求得(cfrac{T}{2}=3),则(omega=cfrac{pi}{3})

    • 间接给出:函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻的两个零点之间的距离是3,即(cfrac{T}{2}=3),则(omega=cfrac{pi}{3})

    • 间接给出:函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻的两条对称轴之间的距离是3,即(cfrac{T}{2}=3),则(omega=cfrac{pi}{3})

    • 间接给出:函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻对称轴和零点之间的距离是3,即(cfrac{T}{4}=3),则(omega=cfrac{pi}{6})

    • 间接给出:函数(f(x)=2sin(omega x+cfrac{pi}{3}))的图像的相邻的最高点和零点之间的距离是(2sqrt{2}),由勾股定理求得(cfrac{T}{4}=2),则(omega=cfrac{pi}{4})

    案例 :二次函数的系数的给出方式

    • 直接给出:已知二次函数(f(x)=x^2-ax+a(a>0,xin R))的系数(a=?)

    • 间接给出:已知二次函数(f(x)=x^2-ax+a(a>0,xin R)),有且只有一个零点,则(Delta =0),解得(a=4)

    • 间接给出:已知二次函数(f(x)=x^2-ax+a(a>0,xin R))(f(x))的值域为([0,+infty)),则(Delta =0),解得(a=4)

    案例 :数列的周期性的给出方式:

    • (a_{n+2}=a_n)(a_{n+2}-a_n=0);则数列的(T=2)

    分析:类比(f(n+2)=f(n)),再类比(f(x+2)=f(x))

    • (a_{n+2}=-a_n)(a_{n+2}+a_n=0);则数列的(T=4)

    分析:类比(f(n+2)=-f(n)),再类比(f(x+2)=-f(x))

    • (a_{n+2}=cfrac{k}{a_n})(a_{n+2}cdot a_n=k)(k)为常数;等积数列,则数列的(T=4)

    分析:类比(f(n+2)=cfrac{k}{f(n)}),再类比(f(x+2)=cfrac{k}{f(x)})

    • (a_{n+2}=a_{n+1}-a_n)(a_{n+2}+a_n=a_{n+1});则数列的(T=6)

    分析:类比(f(n+2)=f(n+1)-f(n)),再类比(f(x+2)=f(x+1)-f(x))

    • (a_{n+1}=(-1)^n(a_n+1));通过计算前面的有限项得到周期;

    案例 :分段函数的给出方式

    • 直接给出:函数(f(x)=egin{cases}2x+a,&x< 1\-x-2a,&xge 1 end{cases}).

    • 间接给出:已知奇函数(f(x))满足(x>0)时,(f(x)=2^x),则利用奇偶性可知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{2^x,x>0}\{0,x=0}\{-2^{-x},x<0}end{array} ight.)

    • 用程序框图给出:

    案例 :线段等分点的向量给出方式

    二等分点(中点):(overrightarrow{OA}=-overrightarrow{OB}),或(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}=overrightarrow{0}),则点(O)(AB)的中点;即(|OA|=|OB|)

    三等分点:(overrightarrow{OA}=-2overrightarrow{OB}),或(overrightarrow{OA}+2overrightarrow{OB}=overrightarrow{0}),则点(O)(AB)的靠近(B)的三等分点;即(|OA|=2|OB|)

    相关变形技巧:(overrightarrow{OA}+2overrightarrow{OB}+3overrightarrow{OC}=vec{0})

    将其系数做恰当的拆分得到,((overrightarrow{OA}+overrightarrow{OC})+2(overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC})=vec{0})

    如图即(2overrightarrow{OD}=-4overrightarrow{OE}),即(overrightarrow{OD}=-2overrightarrow{OE})

    即可知点(O)一定在(Delta ABC)的中位线(DE)上,且在中位线上靠近点(E)的三等分点处。

    四等分点:(overrightarrow{OA}=-3overrightarrow{OB}),或(overrightarrow{OA}+3overrightarrow{OB}=overrightarrow{0}),则点(O)(AB)的靠近(B)的四等分点;即(|OA|=3|OB|)

    案例 :三角形的重心的给出方式

    • 直接给出:点(O)( riangle ABC)的重心;

    • 间接给出:点(O)( riangle ABC)的边(BC)的中线上的靠近(BC)的三等分点;

    • 间接给出:(overrightarrow{OA}=-2overrightarrow{OB}),点(O)是中位线(DE)的三等分点,是( riangle BCD)的重心;

    • 间接给出:(overrightarrow{OA}+2overrightarrow{OB}+3overrightarrow{OC}=vec{0}),点(O)是中位线(DE)的三等分点,是( riangle BCD)的重心;

    • 间接给出:(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}=3overrightarrow{AD}),点(D)( riangle ABC)的重心;

    案例:长度型几何概型的事件的给出方式

    在区间([-5,5])上随机取一个数(k),则事件(A:)“直线(y=kx)与圆((x-5)^2+y^2=9)相交”发生的概率为____________。

    则①以直线和圆相交的方式给出;

    比如,在区间([-1,1])上随机取一个数(k),则事件“直线(y=kx)与圆((x-5)^2+y^2=9)相交”发生的概率为____________.

    ②以定义域的方式给出;

    比如,记函数(f(x)=sqrt{6+x-x^2})的定义域为(D),在区间([4,5])上随机取一个数(x),则(xin D)的概率为______________。

    ③以函数单调递增的方式给出,比如使得函数(f(x)=x^3+mx^2+3x)(R)上单调递增的概率,即求(f'(x)ge 0)的解集;

    ④以不等式的解集形式给出,比如(A={xmid cfrac{x-1}{2-x}>0})

    ⑤以三角不等式的形式给出,比如(A:sinx+sqrt{3}cosxleq 1)


    1. 详解:(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta}=cfrac{2sin heta cos heta-cos^2 heta}{2sin^2 heta+cos^2 heta})
      (=cfrac{2tan heta-1}{2tan^2 heta+1}=cfrac{2 imes 2-1}{2 imes2^2+1}=cfrac{1}{3})
      【解后反思】分子分母都是关于(sin heta)(cos heta)的二次齐次式时,给分子分母同除以(cos^2 heta),转化为关于(tan heta)的一元函数问题来求解,代值运算即可。 ↩︎

    2. (2018宝鸡市二检)双曲线(cfrac{y^2}{4}-x^2=1)的渐近线所夹的角中的锐角为(alpha),求(cos2alpha)的值。
      分析:由题目可以知道,其渐近线为(y=pm 2x)
      取其一(y=2x),则其倾斜角为( heta),可知(tan heta=2)
      (tanalpha)的思路之一:
      又知道( heta+cfrac{alpha}{2}=cfrac{pi}{2}),则( heta=cfrac{pi}{2}-cfrac{alpha}{2}),带入上式得到,
      (tan heta=tan(cfrac{pi}{2}-cfrac{alpha}{2})=cotcfrac{alpha}{2}=2),即(cotcfrac{alpha}{2}=2)
      (tancfrac{alpha}{2}=cfrac{1}{2}),由(tanalpha=cfrac{2tancfrac{alpha}{2}}{1-tan^2cfrac{alpha}{2}})得到,(tanalpha=cfrac{4}{3})
      (tanalpha)的思路之二:
      用三角函数的定义,在(y=2x)上取点((1,2))(tancfrac{alpha}{2}=cfrac{1}{2})
      (tanalpha=cfrac{2tancfrac{alpha}{2}}{1-tan^2cfrac{alpha}{2}})得到,(tanalpha=cfrac{4}{3})
      到此,题目转化为已知(tanalpha=cfrac{4}{3}),求(cos2alpha=?)的值。
      (cos2alpha=cfrac{cos^2alpha-sin^2alpha}{cos^2alpha+sin^2alpha}=cfrac{1-tan^2alpha}{1+tan^2alpha}=-cfrac{7}{25})↩︎

    3. 引申:若(overrightarrow{MA}cdotoverrightarrow{MB}>0),则点(M)在以(AB)为直径的圆外部;
      (overrightarrow{MA}cdotoverrightarrow{MB}<0),则点(M)在以(AB)为直径的圆内部; ↩︎

    4. ↩︎

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