一、三角形的心
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三角形的内心：三角形的三个内角平分线的交点，内切圆的圆心
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三角形的外心：三角形的三边的中垂线的交点，外接圆的圆心
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三角形的重心： 三角形的三边的中线的交点。即平衡点。
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三角形的垂心：三角形的三边的高线的交点。
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三角形的旁心：三角形的三个外角平分线的交点。【不做研究】
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注意三角形的上述几个心的向量表示形式。三角形的四心的向量表示
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当三角形由一般的三角形变化为特殊的三角形时，其几个心的位置关系会发生相应的变化。
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各种特殊三角形中，如等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形中的情形自行推导。
二、可能涉及的运算与方法
- 勾股定理，比例关系，等面积法，等体积法。
三、正三角形的心
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正三角形的三线合一：如(angle A)的内角平分线，边(BC)的中线，边(BC)的高线三线合一。
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正三角形的四心合一：由于上述三线合一，故正三角形的内心、外心、重心、垂心四心合一。
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正三角形的两圆心合一：正三角形的内切圆圆心、外接圆圆心合二为一。
- 正三角形的内心外心位置：在正三角形的重心位置处，或在正三角形任意一条高线[或中线或垂线]的远离三角形顶点的三等分点处；
【推导1】思路：如上图所示， (O)为(Delta ABC)的内心，也是重心，
设边长(AB=a)，则(BD=cfrac{a}{2})，(AD=cfrac{sqrt{3}a}{2})，
(R{内}=OD=cfrac{1}{3}cdot cfrac{sqrt{3}a}{2})，(R{外}=OA=cfrac{2}{3}cdot cfrac{sqrt{3}a}{2})，
故(R_{内}：R_{外}=1：2)；
【推导2】等面积法：(S_{Delta ABC}=S_{Delta OBC}+S_{Delta OAC}+S_{Delta OAB})，
即(cfrac{1}{2} imes BC imes AD=cfrac{1}{2} imes BC imes R_{内}+cfrac{1}{2} imes AC imes R_{内}+cfrac{1}{2} imes AB imes R_{内})，
则(cfrac{1}{2} imes BC imes AD=cfrac{3}{2} imes BC imes R_{内})，
故(R_{内}=cfrac{1}{3}cdot AD=cfrac{1}{3}cdot h)，故(R_{外}=cfrac{2}{3}cdot h)，
故(R_{内}：R_{外}=1：2)；
五、正四面体的心
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正四面体的内切球球心、外接球球心、棱切球球心，三心合一。
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正四面体的内切球球心、外接球球心、棱切球球心位置：在正四面体任一高线的四等分点处，且靠近底面。
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正四面体的棱长为(a)，则底面三角形的高为(cfrac{sqrt{3}a}{2})，则正四面体的高为(h=cfrac{sqrt{6}a}{3})；
- 正四面体的内切球半径(R_{内}=cfrac{sqrt{6}a}{12}=cfrac{1}{4}h=IF)；
推导：等体积法，(V_{D-ABC}=cfrac{1}{3} imes S_{Delta ABC} imes h)，(V_{D-ABC}=V_{I-ABC}+V_{I-ABD}+V_{I-BCD}+V_{I-ACD}=cfrac{4}{3} imes S_{Delta ABC} imes R_{内})，
故(R_{内}=cfrac{1}{4}h)；
- 正四面体的外接球半径(R_{外}=cfrac{sqrt{6}a}{4}=cfrac{3}{4}h=IC)；
推导：由上可知，(R_{外}=cfrac{3}{4}h)；
- 正四面体的棱切球半径(R_{棱}=cfrac{sqrt{2}a}{4}=IE)；
推导：