直接证明与间接证明

前言

综合法和分析法都属于直接证明的方法，反证法属于间接证明方法；

综合法

• 又称为“由因导果”法，综合法中常用的公式

(a^2+b^2ge 2ab)，

(a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ca)；

((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)；

• 综合法中常用的结论参阅轮换对称式

① (a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ca)；

②已知(a，b，c>0)，且(a+b+c=1)，

则有(a^2+b^2+c^2ge cfrac{1}{3})，(ab+bc+caleq cfrac{1}{3})；(cfrac{a^2}{b}+cfrac{b^2}{c}+cfrac{c^2}{a}ge 1)

分析法

• 又称为“执果索因”法，分析法的书写格式：

例题【2018济宁二模】已知(a>0)，求证：(sqrt{a^2+cfrac{1}{a^2}}-sqrt{2}ge a+cfrac{1}{a}-2)。

证明：用分析法，

要证(sqrt{a^2+cfrac{1}{a^2}}-sqrt{2}ge a+cfrac{1}{a}-2)，

只要证(sqrt{a^2+cfrac{1}{a^2}}+2ge a+cfrac{1}{a}+sqrt{2})，

由于(a>0)，故只要证((sqrt{a^2+cfrac{1}{a^2}}+2)^2ge (a+cfrac{1}{a}+sqrt{2})^2)，

即(a^2+cfrac{1}{a^2}+4sqrt{a^2+cfrac{1}{a^2}}+4ge a^2+2+cfrac{1}{a^2}+2sqrt{2}(a+cfrac{1}{a})+2)，

从而只要证(2sqrt{a^2+cfrac{1}{a^2}}ge sqrt{2}(a+cfrac{1}{a}))，

只要证(4(a^2+cfrac{1}{a^2})ge 2(a^2+2+cfrac{1}{a^2}))，

即只要证(a^2+cfrac{1}{a^2}ge 2)，

而上述不等式显然成立，

故原不等式成立。

• 注意上述的书写格式，是分析法独有的，不能省略，否则逻辑关系就出现错误了。

• 只需要将上述的书写过程倒过来，就是综合法。

反证法

参阅反证法