轮换对称式

轮换对称式

比如给定的表达式(a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ca)，

如果我们将(a、b、c)轮番替换，比如(aRightarrow b，bRightarrow c，cRightarrow a)后，

就得到了(b^2+c^2+a^2ge bc+ca+ab)，其本质和替换前的是一样的(加法具有交换律)。

凡是具有这样的特征的代数式我们就称之为轮换对称式，证明轮换对称式的题目时常常考虑构造对称不等式。

证明思路

轮换对称式的证明主要采用“分合”策略；

(1^。) 先说“分”：

分组方式为两项为一组或一项一组，当两项为一组时，或利用现有的项两两构成一组，或添加项构成一组；常利用基本不等式来解决，当一项为一组时，常利用单调性来解决。

• 如(a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ac)，

主要利用形如这样(a^2+b^2ge 2ab)的三个同样结构形式解决。

• 再如(sqrt{a^2+b^2}+sqrt{b^2+c^2}+sqrt{c^2+a^2}ge sqrt{2}(a+b+c))，

主要利用形如这样(sqrt{a^2+b^2}ge cfrac{sqrt{2}(a+b)}{2}) 的三个同结构的形式解决。

• 再如锐角三角形中，证明(sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC) ，

主要利用形如(sinA>cosB)的三个同结构的形式解决。

(2^。) 再说“合”：

往往是把相同形式的三个代数式相加或相乘即可。

• (left.egin{array}{l}{a^2+b^2ge 2ab}\{b^2+c^2ge 2bc}\{c^2+a^2ge 2ca}end{array} ight}Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)ge 2(ab+bc+ac)Rightarrow a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ac)

• (left.egin{array}{l}{sqrt{a^2+b^2}ge cfrac{sqrt{2}(a+b)}{2}}\{sqrt{b^2+c^2}ge cfrac{sqrt{2}(b+c)}{2}}\{sqrt{c^2+a^2}ge cfrac{sqrt{2}(c+a)}{2}}end{array} ight}Rightarrow sqrt{a^2+b^2}+sqrt{b^2+c^2}+sqrt{c^2+a^2}ge sqrt{2}(a+b+c))

• (left.egin{array}{l}{sinA>cosB}\{sinB>cosC}\{sinC>cosA}end{array} ight}Rightarrow sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC)

典例剖析

例1证明：(cfrac{a^2}{b}+cfrac{b^2}{c}+cfrac{c^2}{a}ge a+b+c)

分析：(cfrac{a^2}{b}+bge 2a(a=b时取等号))；(cfrac{b^2}{c}+cge 2b(b=c时取等号))；(cfrac{c^2}{a}+age 2c(a=c时取等号))；

三个式子相加得到(cfrac{a^2}{b}+cfrac{b^2}{c}+cfrac{c^2}{a}ge a+b+c)，当且仅当(a=b=c)时取到等号。

例2已知(a，b，c)为正实数，且(a+b+c=1)，求证：

(1)(a^2+b^2+c^2ge cfrac{1}{3})；

【法1】由于(a+b+c=1)，

故(1^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)

(leq a^2+b^2+c^2+(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)=3(a^2+b^2+c^2))，

即(a^2+b^2+c^2ge cfrac{1}{3})；

【法2】设(a=cfrac{1}{3}+alpha)，(b=cfrac{1}{3}+eta)，(c=cfrac{1}{3}+gamma)，

则由(a+b+c=1)，将上式代入得到(alpha+eta+gamma=0)，

则(a^2+b^2+c^2=(cfrac{1}{3}+alpha)^2+(cfrac{1}{3}+eta)^2+(cfrac{1}{3}+gamma)^2)

(=cfrac{1}{3}+cfrac{2}{3}(alpha+eta+gamma)+alpha^2+eta^2+gamma^2)

(=cfrac{1}{3}+alpha^2+eta^2+gamma^2ge cfrac{1}{3})。

(2)(ab+bc+caleq cfrac{1}{3})

分析：由于(a+b+c=1)，

故(1^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)

(ge (ab+bc+ca)+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca))，

即(ab+bc+caleq cfrac{1}{3})

(3)(cfrac{a^2}{b}+cfrac{b^2}{c}+cfrac{c^2}{a}ge 1)

分析：由例题1可知，

(cfrac{a^2}{b}+cfrac{b^2}{c}+cfrac{c^2}{a}ge a+b+c=1)，得证。

例3证明：(cfrac{x}{yz}+cfrac{y}{xz}+cfrac{z}{xy}ge cfrac{1}{x}+cfrac{1}{y}+cfrac{1}{z})

分析：(cfrac{x}{yz}+cfrac{y}{xz}=cfrac{1}{z}(cfrac{x}{y}+cfrac{x}{y})ge cfrac{2}{z}(x=y时取到等号))；

(cfrac{y}{xz}+cfrac{z}{xy}=cfrac{1}{x}(cfrac{y}{z}+cfrac{z}{y})ge cfrac{2}{x}(y=z时取到等号))；

(cfrac{z}{xy}+cfrac{x}{yz}=cfrac{1}{y}(cfrac{z}{x}+cfrac{x}{z})ge cfrac{2}{y}(z=x时取到等号))；

以上三个式子相加，得到(2(cfrac{x}{yz}+cfrac{y}{xz}+cfrac{z}{xy})ge 2(cfrac{1}{x}+cfrac{1}{y}+cfrac{1}{z}))，

即(cfrac{x}{yz}+cfrac{y}{xz}+cfrac{z}{xy}ge cfrac{1}{x}+cfrac{1}{y}+cfrac{1}{z})(当且仅当(x=y=z)时取到等号)。

例4证明：在锐角三角形中，(sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC)

分析：在锐角三角形中，(A，B，Cin (0，cfrac{pi}{2}))，故(A+B>cfrac{pi}{2})，

即(A>cfrac{pi}{2}-B)，此时可知(A，cfrac{pi}{2}-Bin (0，cfrac{pi}{2}))，

而函数(y=sinx)在区间((0，cfrac{pi}{2}))上单调递增，故(sinA>sin(cfrac{pi}{2}-B)=cosB)，

同理，(sinB>cosC)，(sinC>cosA)，三个式子相加得到，

(sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC)。