前言
关于二项式的系数或者二项式的某一项的求解问题，既可以考虑用通项公式法，也可以考虑用组合法，相比较而言，组合法的作用更大，使用更方便。不过组合法的缺陷是处理含有分式的项((x^2+cfrac{1}{x}))或者含有根式的项((x+cfrac{2}{sqrt[3]{x^2}}))时不是很方便，故两种方法都需要掌握。
一、原理说明
- 使用组合法求解二项展开式中的某一项或某一项的系数的原理
乘积((a_1+a_2)(b_1+b_2+b_3))的展开式中共有不同的项的个数为_____个。
分析：按照多项式乘法法则可知，每次只能从每一个因式中取出一项，每一个因式中都必须取出某项，然后乘在一起，构成展开式中的某一项；
先在第一个因式中取出(a_1)，然后和第二个因式中的每一项相乘，得到(a_1b_1)，(a_1b_2)，(a_1b_3)，
再从第一个因式中取出(a_2)，然后和第二个因式中的每一项相乘，得到(a_2b_1)，(a_2b_2)，(a_2b_3)，
使用分类加法计数原理，$N=3+3=6 $个；
或使用分步乘法计数原理，$N=C_2^1cdot C_3^1=6 $个。
法1：将三项式转化为二项式的形式来处理。((x^2-x+2)^5=[(x^2-x)+2]^5=[(x^2+2)-x]^5)，留作练习。
法2：组合法，推荐方法，希望掌握；
由于((x^2-x+2)^5=(x^2-x+2)(x^2-x+2)(x^2-x+2)(x^2-x+2)(x^2-x+2))，
按照多项式乘法法则可知，每次只能从每一个因式中取出一项，每一个因式中都必须取出某项，然后乘在一起，构成展开式中的某一项；这样我们可以按照这样的操作思路来构成含有(x^3)的项：
其一：先从5个相同因式中任意选取一个有(C_5^1)种，在取出的这个因式中只选取项(x^2)；
然后再从剩余的4个相同因式中任意选取一个有(C_4^1)种，在取出的这个因式中只选取项(-x)；
最后将剩余的3个相同因式全部选取有(C_3^3)种，在取出的每个因式中只选取项(2)；
故有(C_5^1cdot x^2 cdot C_4^1cdot(-x)cdot C_3^3 cdot 2cdot 2cdot 2=-C_5^1cdot C_4^1cdot C_3^3cdot 2^3cdot x^3)；
其二：先从5个相同因式中任意选取三个有(C_5^3)种，在取出的每个因式中只选取项(-x)；
然后将剩余的2个相同因式中全部选取有(C_2^2)种，在取出的每个因式中只选取项(2)；
故有(C_5^3cdot (-x) cdot (-x) cdot (-x) cdot C_2^2cdot 2cdot 2=-C_5^3cdot C_2^2cdot 2^2cdot x^3)；
故(x^3)的项的组成是(C_5^1cdot x^2 cdot C_4^1cdot(-x)cdot C_3^3cdot 2^3+C_5^3cdot(-x)^3cdot C_2^2cdot 2^2=-200x^3)；
注意两点：①组合数的上标之和应该等于题目中的指数；②组合数的上标和出现的对应项的次数应该一致；
二、典例剖析
- 解决二项式问题
法1：通项公式法，由((x^3+cfrac{1}{x})^7)展开式的通项公式：(T_{r+1}=C_7^rcdot (x^3)^{7-r}cdot (x)^{-r}=C_7^rcdot x^{21-4k})，
令(21-4k=5)，解得(k=4)，故展开式中(x^5)的系数为(C_7^4=35)。
法2：组合法，经过尝试，只有取3个(x^3)项和4个(cfrac{1}{x})项，其乘积才是(x^5)；
故含有(x^5)的项的组成是：(C_7^3cdot (x^3)^3cdot C_4^4cdot (cfrac{1}{x})^4=35x^5)，即其系数为(35)。
- 解决三项式问题
法1：将三项式转化为二项式的形式来处理。
((x^2+2x+3y)^5=[(x^2+2x)+3y]^5)，其通项公式为(T_{r+1}=C_5^r(x^2+2x)^{5-r}(3y)^r)，
由此式可知令(r=2)，则有(T_{2+1}=C_5^2(x^2+2x)^{5-2}(3y)^2=9C_5^2(x^2+2x)^3y^2)，
以下确定(x)的次数，再令((x^2+3x)^3)的通项公式为(T_{k+1}=C_3^k(x^2)^{3-k}(2x)^k=2^kC_3^kx^{6-k})，
由此式可知令(k=1)，则(T_{1+1}=C_3^1(x^2)^{3-1}(2x)^1=2 imes3 x^5)，
故含有(x^5y^2)的项的系数应该是(9C_5^2 imes2 imes3=540).
法2：排列组合法，
((x^2+2x+3y)^5=(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y))，
先分析(x^5y^2)的项的构成方式，在本题中，只能是2次(x^2)，1次(x)，2次(y)构成，
故按照多项式乘法法则可知，我们可以先从5个因式中任意选取二个有(C_5^2)种，在取出的这个因式种只选取项(x^2)；
然后再从剩余的3个因式中任意选取一个有(C_3^1)种，在取出的这个因式中只选取项(2x)；
最后将剩余的2个因式全部选取，有(C_2^2)种，在取出的每个因式种只选取项(3y)；
故有(C_5^2cdot x^2 cdot x^2 cdot C_3^1cdot 2xcdot C_2^2 3ycdot 3y)
(=C_5^2cdot C_3^1cdot C_2^2cdot 2cdot 9x^5y^2=540x^5y^2).
- 解决两个二项式乘积形式
法1：通项公式法，由((2x-y)^5)展开式的通项公式：(T_{r+1}=C_5^rcdot (2x)^{5-r}cdot (-y)^r)可得：
当(r=3)时，(xcdot (2x-y)^5)展开式中(x^3y^3)的系数为(C_5^3 imes 2^2 imes (-1)^3=-40)；
当(r=2)时，(ycdot (2x-y)^5)展开式中(x^3y^3)的系数为(C_5^2 imes 2^3 imes (-1)^2=80)；
则(x^3y^3)的系数为(80-40=40)，故选(C)。
法2：排列组合法，构成(x^3y^3)的有两个来源：
其一，(C_1^1cdot xcdot C_5^2cdot (2x)^2cdot C_3^3cdot (-y)^3=-40x^3y^3)；
其二，(C_1^1cdot ycdot C_5^3cdot (2x)^3cdot C_2^2cdot (-y)^2=80x^3y^3)；
则(x^3y^3)的系数为(80-40=40)，故选(C)。
提示：选(C)。
其一：(C_1^1cdot 1cdot C_6^2cdot x^2cdot C_4^4cdot 1^4=15x^2)；
其二：(C_1^1cdot cfrac{1}{x^2}cdot C_6^4cdot x^4cdot C_2^2cdot 1^2=15x^2)；
分析：常数项来源于两个，
其一是(C_1^1cdot xcdot [C_5^3(2x)^2(-cfrac{1}{x})^3])，
其二是(C_1^1cdot cfrac{1}{x}cdot [C_5^2(2x)^3(-cfrac{1}{x})^2])，
故常数项为(C_5^32^2(-1)^3+C_5^22^3(-1)^2=40)
分析：使用组合法，其中项(x^5)的构成有以下几个角度：(C_8^2cdot (2x^2)^2cdot C_6^1cdot (-x)^1cdot C_5^5cdot 1^5)；(C_8^1cdot (2x^2)^1cdot C_7^3cdot (-x)^3cdot C_4^4cdot 1^4)；(C_8^0cdot (2x^2)^0cdot C_8^5cdot (-x)^5cdot C_3^3cdot 1^3)；整理后其系数为(-1288)，故选(C)。
三、思维串线
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用组合法肯定也能处理四项式，甚或五项式的问题；
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与此类似的数学方法，比如我们常常用穿根法求解高次不等式，自然也能用之求解二次不等式，也能求解一次不等式，以及能转化为高次不等式的那些不等式。
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解释二项分布中的概率计算公式的原理
一般的，在(n)次独立重复试验中，设事件(A)发生的次数为(X)，每次试验中事件(A)发生的概率为(p)，则事件(A)恰好发生(k)次的概率为(P(X=k)=C_n^kcdot p^kcdot (1-p)^{n-k})，((k=0，1，2，cdots，n))，此时称随机变量(X)服从二项分布，记为(Xsim B(n，p))，并称(p)为成功概率。
解释：二项展开式([p+(1-p)]^n)中，事件(A)发生(k)次，即对应展开式中的含(p^k)的项，其为(C_n^kcdot p^kcdot C_{n-k}^{n-k}cdot (1-p)^{n-k})，即(P(X=k)=C_n^kcdot p^kcdot (1-p)^{n-k})，