条件概率

前言

条件概率是概率计算中的一类比较容易出错的题目。

一、条件概率

一般的，设(A)，(B)为两个事件，且(P(A)>0)，则称(P(B|A)=cfrac{P(AB)}{P(A)})为在事件(A)发生的条件下，事件(B)发生的条件概率。

• 条件概率的性质：

①(0leq P(B|A)leq 1)；

②若(B)，(C)为两个互斥事件，则(P(Bcup C|A)=P(B|A)+P(C|A))；

二、注意事项

• (P(B|A))和(P(A|B))是两个不同的条件概率。

• 一般情况下，条件概率的计算只能按照条件概率的定义套用公式进行，在计算时要注意搞清楚问题的事件含义，特别注意在事件(A)包含事件(B)时，(AB=B)。

• 对于古典概型的条件概率，计算方法有两种：其一可采用缩减基本事件空间的办法计算(P(B|A)=cfrac{n(AB)}{n(A)})；其二可直接利用定义计算(P(B|A)=cfrac{P(AB)}{P(A)})；

三、典例剖析

例1【2017长沙二模】一个不透明的袋子装又4个完全相同的小球，球上分别标有数字0、1、2、2，现甲从中摸出1个球记下球上的数字后放回，乙再从中摸出1个球，若谁摸出的球上的数字大则获胜(若数字相同则为平局)，则在甲获胜的条件下，乙摸出的球上的数字为1的概率为【】

$A.cfrac{5}{16}$ $B.cfrac{9}{16}$ $C.cfrac{1}{5}$ $D.cfrac{2}{5}$

法1分析：使用古典概型求解，由于甲获胜的所有情形为((2，1))，((2，1))，((2，0))，((2，0))，((1，0))，共有5种，

其中在甲获胜的条件下，乙摸出的球上的数字为1的情形为((2，1))，((2，1))，有2种，

令“在甲获胜的条件下，乙摸出的球上的数字为1”为事件(A)，则(P(A)=cfrac{2}{5})，故选(D)。

法2分析：使用条件概率求解，令“甲获胜”为事件(A)，“乙摸出的球上的数字为1”为事件(B)，则所求为(P(B|A))；

由于甲、乙都从4个球中分别取出1个球，故所有情形有(4 imes 4=16)种，则甲获胜的情形有((2，1))，((2，1))，((2，0))，((2，0))，((1，0))，共有5种，故(P(A)=cfrac{5}{16})，

而事件(AB)即“甲获胜且乙摸出的球上的数字为1”的情形有((2，1))，((2，1))，有2种，即(P(AB)=cfrac{2}{16})，

由条件概率的计算公式可得，(P(B|A)=cfrac{P(AB)}{P(A)}=cfrac{frac{2}{16}}{frac{5}{16}}=cfrac{2}{5})。

解后反思：①古典概型求解改题目，其实就是压缩了样本空间；

例2一个箱子中有9张标有1，2，3，4，5，6，7，8，9的卡片，从中依次取两次，则在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率是___________。

法一：设第一张是奇数记为事件(A)，第二张是奇数记为事件(B)，

则(P(A)=cfrac{A_5^1A_8^1}{A_9^2}=cfrac{5}{9})，(P(AB)=cfrac{A_5^2}{A_9^2}=cfrac{5}{18})，

所以(P(B|A)=cfrac{P(AB)}{P(A)}=cfrac{frac{5}{18}}{frac{5}{9}}=cfrac{1}{2})；

法二：设第一张是奇数记为事件(A)，第二张是奇数记为事件(B)，

(n(A)=5 imes 8=40)，(n(AB)=5 imes 4=20)，所以(P(B|A)=cfrac{n(AB)}{n(A)}=cfrac{20}{40}=cfrac{1}{2})。

例3某种家用电器能使用三年的概率为0.8，能使用四年的概率为0.4，已知这种家用电器已经使用了三年，则它能够使用到四年的概率是__________。

分析：记事件(A)为这个家用电器已经使用了三年，事件(B)为这个家用电器使用到四年，显然(Bsubseteq A)，即事件(AB=B)，

由题目可知(P(A)=0.8)，(P(AB)=0.4)，故(P(B|A)=cfrac{P(AB)}{P(A)}=cfrac{0.4}{0.8}=cfrac{1}{2})。

例4【2018济南针对性训练】某射击选手射击一次命中的概率是0.7，两次均射中的概率是0.4，已知某次射中则随后一次射中的概率是【】

$A.cfrac{7}{10}$ $B.cfrac{6}{7}$ $C.cfrac{4}{7}$ $D.cfrac{2}{5}$

分析：设某一次射中为事件(A)，随后一次射中为事件(B)，则(P(A)=0.7)，(P(AB)=0.4)，

则(P(B|A)=cfrac{P(AB)}{P(A)}=cfrac{0.4}{0.7}=cfrac{4}{7})。

例5设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品，从中任取1件，已知取得的是合格品，则它是一等品的概率是__________。

分析：设(B)表示取得一等品，(A)表示取到合格品，则

法一：由于95件合格品中有70件一等品，又由于一等品也是合格品，所以(AB=B)，

(P(B|A)=cfrac{70}{95}=cfrac{14}{19})；

法二：(P(B|A)=cfrac{P(AB)}{P(A)}=cfrac{cfrac{70}{100}}{cfrac{90}{100}}=cfrac{14}{19})。

例6【2019届高三理科数学三轮模拟试题】从(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，(7)，(8)，(9)中不放回地依次取(2)个数，事件(A)=“第一次取到的是奇数”，事件(B)=“第二次取到的是奇数”，则(P(B|A))=【】

$A.cfrac{1}{5}$ $B.cfrac{3}{10}$ $C.cfrac{2}{5}$ $D.cfrac{1}{2}$

法1：条件概率法，由题可知，(P(AB)=cfrac{A_5^2}{A_9^2}=cfrac{5}{18})，(P(A)=cfrac{A_5^1}{A_9^1}=cfrac{5}{9})，

故(P(B|A)=cfrac{P(AB)}{P(A)}=cfrac{1}{2})，故选(D).

法2：古典概型法，由题可知，(n(A)=5 imes 8=40)，(n(AB)=5 imes 4=20)，故(P(B|A)=cfrac{n(AB)}{n(A)}=cfrac{20}{40}=cfrac{1}{2});