常规题型
典例剖析
分析:由(f(x)>0)对(xin R)恒成立可知,(Delta =t^2-4t<0),解得(tin (0,4)),到此可知为长度型几何概型,且概率公式的分母为(4-0=4);
对函数(g(x))而言,“(exists a,bin (0,1)),使得(g(a)=g(b)=0)”为真命题,即意味函数在区间((0,1))上必须有两个零点,则函数(g(x))须满足条件:
(left{egin{array}{l}{g(0)>0}\{g(1)>0}\{0<-cfrac{-2(t+1)}{2 imes 3}<1}\{Delta ge 0}end{array} ight.),解得(0<t<1),
由长度型几何概型求解公式可知,(P=cfrac{1-0}{4-0}=cfrac{1}{4}),故选(C)。
解后反思:
②三种数学语言的转化能力三种数学语言的转化。
分析:做出正棱锥(S-ABC)如图所示,设其高线为(SO=h),设三棱锥(P-ABC)的高为(h_1),
先将不等关系改写为相等关系,即(V_{P-ABC}=cfrac{1}{2}V_{S-ABC}),即寻找临界状态下的点(P)的位置。
则由(cfrac{1}{3}cdot S_{ riangle ABC}cdot h=cfrac{1}{2}cdot cfrac{1}{3}cdot S_{ riangle ABC}cdot h_1),得到(h_1=cfrac{1}{2}h),即处于临界状态时,点(P)应该在正棱锥(S-ABC)的中截面(MND)内,
然后我们就能很容易的分析出要满足(V_{P-ABC}<cfrac{1}{2}V_{S-ABC}),则点(P)应该在正三棱台(NDM-ABC)内部,
故所求概率为(P=1-cfrac{V_{S-MND}}{V_{S-ABC}}=1-cfrac{cfrac{1}{3}cdot cfrac{sqrt{3}}{4}cdot 2^2cdot h_1}{cfrac{1}{3}cdot cfrac{sqrt{3}}{4}cdot 4^2cdot h}=1-cfrac{1}{8}=cfrac{7}{8}),故选(B)。
分析:将题目中的圆锥展开后,则其侧面形成一个半径为(13),弧长为(10pi)的扇形,如下图所示,
要使的蚂蚁距离圆锥顶点超过5cm,则蚂蚁应该在扇环内部,而小扇形的弧长可以这样计算(cfrac{l}{5}=cfrac{10pi}{13}),故小扇形的弧长为(cfrac{50pi}{13}),
故所求概率为(P=1-cfrac{cfrac{1}{2} imes cfrac{50pi}{13} imes 5}{cfrac{1}{2} imes 10pi imes 13}=cfrac{144}{169}),故选(C)。
以下图片隐藏。
法1分析:由(frac{AH}{HD}=frac{sqrt{5}-1}{2}),借助比例因子,则可设(S_{ riangle AEH}=(sqrt{5}-1)k(k>0)),(S_{ riangle DEH}=2k),
且有(S_{ riangle AHB}=S_{ riangle DHE}),又由于正五边形的对称性可知,(S_{ riangle ABE}=S_{ riangle BCD}),(S_{ riangle BCD}=S_{ riangle BDH}),
则(S_{ riangle ABE}=(sqrt{5}-1)k+2k=(sqrt{5}+1)k),则(S_{阴影}=2k+2k+(sqrt{5}-1)k=(3+sqrt{5})k),(S_{正}=2k+3cdot (sqrt{5}+1)k=(5+3sqrt{5})k),
故所求概率为(P=cfrac{S_{阴影}}{S_{正}}=cfrac{(3+sqrt{5})k}{(5+3sqrt{5})k}=cfrac{sqrt{5}}{5})。
法2:设正五边形的棱长为(a),则(S_{正}=5 imescfrac{1}{2} imes a imes cfrac{a}{2sin36^{circ}} imes 54^{circ}=cfrac{5a^2}{4} imes cfrac{cos36^{circ}}{sin36^{circ}})
(S_{ riangle ABE}=cfrac{1}{2}a^2 imes sin108^{circ}),则由比例关系可得,(S_{阴影}=cfrac{1}{2}a^2 imes cos18^{circ}(1+cfrac{2}{sqrt{5}}+1)=cfrac{1}{2}a^2 imes cos18^{circ} imes cfrac{sqrt{5}+3}{sqrt{5}+1})
故(P=cfrac{S_{阴影}}{S_{正}}=cdots=cfrac{sqrt{5}+1}{5}cdot cfrac{cos18^{circ}sin36^{circ}}{cos36^{circ}}=cdots=cfrac{sqrt{5}}{5}).
相关储备:计算(sin18^{circ}=cfrac{sqrt{5}-1}{4})
(sin3 heta=3sin heta cos^2 heta-sin^3 heta),(cos2 heta=cos^2 heta-sin^2 heta),
则由(sin54^{circ}=cos36^{circ}),可得(3sin18^{circ}cos^218^{circ}-sin^318^{circ}=cos^218^{circ}-sin^218^{circ}).
整理得到,(4sin^318^{circ}-2sin^218^{circ}-3sin18^{circ}+1=0),用试商法尝试分解(x=1)为其一个根,
故可以分解为((sin18^{circ}-1)(4sin^218^{circ}+2sin18^{circ}-1)=0),(sin18^{circ}=1)舍去,
由(4sin^218^{circ}+2sin18^{circ}-1=0),得到(sin18^{circ}=cfrac{-2pm sqrt{4+4 imes4}}{2 imes 4}=cfrac{-1pm sqrt{5}}{4}),
舍去负值,得到(sin18^{circ}=cfrac{sqrt{5}-1}{4}),即(2sin18^{circ}=cfrac{sqrt{5}-1}{2})。