前言
概率题目中,涉及到的事件比较多,关系复杂,如何区分这些事件的关系,对成功解决概率问题至关重要。
区分角度
- 互斥事件和对立事件
以掷骰子试验为例,向上的点数为1记为事件(A),向上的点数为2记为事件(B),向上的点数为奇数记为事件(C),向上的点数为偶数记为事件(D),
关系:(A)与(B)互斥关系;包含关系:(Asubseteq C);对立关系:(C)与(D)是对立关系;
判断方法:若事件(A)发生时,事件(B)必然不能发生,若事件(B)发生时,事件(A)必然不能发生,则事件(A)与(B)是互斥关系;
若事件(A)发生时,事件(B)必然不能发生,若事件(A)不发生时,事件(B)必然发生,则事件(A)与(B)是对立关系;
- 互斥事件和独立事件
这两个概念本是不必区分的,但实践中还是容易出错;想象有一个(n)层的书架,互斥事件就是同一层书架上的几本书之间的关系,互斥或对立。独立事件指的就是不同书架之间的几本书的关系;
判断方法:若事件(A)发生时,事件(B)必然不能发生,若事件(B)发生时,事件(A)必然不能发生,则事件(A)与(B)是互斥关系;若事件(A)的发生与否并不能决定事件(B)的发生与否,则事件(A)与(B)是相互独立关系;如果事件(A)、(B)相互独立,则事件(A)、(B)必然不互斥。
- 独立事件和独立重复试验
10个射手,射击水平各不相同,则他们射中目标的概率各自都不相同,那么各自射击一次,就只是按照相互独立事件处理;若10个射手射击水平完全相同,其效果就像是一个高水平的射手连续射击10次,这时候就可以抽象为做了10次独立重复试验。
- 独立事件和二项分布
承接上例,10个射击水平各不相同的射手各自射击一次,其击中目标的概率只能按照相互独立事件的概率乘法公式计算;但若是10个射击水平相同的射手各自射击一次,其击中目标的概率既可以按照相互独立事件的概率乘法公式计算,当然还可以用更简便的方法(乘方是乘法的简便运算),即二项分布的概率计算公式来计算。
典例剖析
分析:令甲、乙、丙三人击中靶心,分别为事件(A),(B),(C),则(P(A)=0.6),(P(B)=0.7),(P(C)=0.8),且(P(ar{A})=0.4),(P(ar{B})=0.3),(P(ar{C})=0.2),且事件(A),(B),(C)相互独立,且事件(ar{A}),(ar{B}),(ar{C})等等相互独立。
①三人都击中靶心的概率为多少?
分析:令“三人都击中靶心”为事件(D),则(D=ABC),$P(D)=P(A)P(B)P(C)=0.6 imes 0.7 imes 0.8=cdots $
②无人击中靶心的概率为多少?
分析:令“三人都没有击中靶心”为事件(E),则(E=ar{A}ar{B}ar{C}),$P(E)=P(ar{A})P(ar{B})P(ar{C})=0.4 imes 0.3 imes 0.2=cdots $
③仅有一个人击中靶心的概率为多少?
分析:令“三人中仅有一人击中靶心”为事件(F),则(F=Aar{B}ar{C}+ar{A}Bar{C}+ar{A}ar{B}C),
(P(F)=P(Aar{B}ar{C})+P(ar{A}Bar{C})+P(ar{A}ar{B}C))
(=0.6 imes 0.3 imes 0.2+0.4 imes 0.7 imes 0.2+0.4 imes 0.3 imes 0.8=cdots)
分析:三个人各打靶一次,由于三人击中靶心的概率都是0.7,相当于做了三次独立重复试验,设击中靶心的次数为(X),则(Xsim B(3,0.7)),且(P(X=k)=C_3^kcdot 0.7^kcdot (1-0.7)^{3-k}),(k=0,1,2,3),
①三人都击中靶心的概率为多少?
分析:(P(X=3)=C_3^3cdot 0.7^3cdot (1-0.7)^{3-3}=0.7^3),
②无人击中靶心的概率为多少?
分析:(P(X=0)=C_3^0cdot 0.7^0cdot (1-0.7)^{3-0}=0.3^3),
③仅有一个人击中靶心的概率为多少?
分析:(P(X=1)=C_3^1cdot 0.7^1cdot (1-0.7)^{3-1}=3 imes 0.7 imes0.3^2),
分析:由于事件(A),(B),(C)相互独立,则事件(A+B+C)表示事件(A)发生,或事件(B)发生,或事件(C)发生,即事件(A),(B),(C)中至少有一个发生,其对立面是一个都没有发生,
故(P(A+B+C)=1-P(ar{A})cdot P(ar{B})cdot P(ar{C})=1-[(1-0.25)(1-0.50)(1-0.45)])
(=1-0.225=0.775),故选(D)。
- 用加号相连的事件之间的关系,一般是互斥的,但也有其他的关系,比如本题目。
常见刻画
①(A)发生:(A);
②只有(A)发生:(Aar{B}ar{C});
③(A),(B),(C)恰有一个发生:(Aar{B}ar{C})+(ar{A}Bar{C})+(ar{A}ar{B}C);
④(A),(B),(C)同时发生:(ABC);
⑤(A),(B),(C)至少有一个发生:(A+B+C);
⑥(A),(B),(C)至多有一个发生:(ar{A}ar{B}ar{C})+(Aar{B}ar{C})+(ar{A}Bar{C})+(ar{A}ar{B}C);
⑦(A),(B),(C)恰有两个发生:(ABar{C})+(Aar{B}C)+(ar{A}BC);
⑧(A),(B),(C)至少两个发生:(ABar{C})+(Aar{B}C)+(ar{A}BC)+(ABC);
①三次都合格:(A_1A_2A_3);
②至少一次合格:(A_1ar{A_2}ar{A_3})+(ar{A_1}A_2ar{A_3})+(ar{A_1}ar{A_2}A_3)+(A_1A_2ar{A_3})+(A_1ar{A_2}A_3)+(ar{A_1}A_2A_3)+(A_1A_2A_3);
③恰有两次合格:(A_1A_2ar{A_3})+(A_1ar{A_2}A_3)+(ar{A_1}A_2A_3);
④至多一次合格:(ar{A_1}ar{A_2}ar{A_3})+(A_1ar{A_2}ar{A_3})+(ar{A_1}A_2ar{A_3})+(ar{A_1}ar{A_2}A_3);