三角函数对称性[奇偶性]

前言

常用结论

• 函数(f(x)=sinx)，(g(x)=Asinx)，(h(x)=sinomega x)，(f(x)=Asinomega x)都是奇函数；

• 函数(f(x)=cosx)，(g(x)=Acosx)，(h(x)=cosomega x)，(f(x)=Acosomega x)都是偶函数；

• 函数(f(x)=Asin(omega x+phi))为奇函数，则需要(sinphi=0)，或者(phi=kpi，kin Z)；

• 函数(f(x)=Asin(omega x+phi))为偶函数，则需要(sinphi=pm 1)，或者(phi=kpi+cfrac{pi}{2}，kin Z)；

高阶链接

破解正弦型函数参数的取值范围；

对称性

例1求(y=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1)的对称性；

分析：这种方法可以求得函数的一族对称轴方程和一族对称中心坐标；

令(2x+cfrac{pi}{6}=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，

解得对称轴方程为：(x=cfrac{kpi}{2}+cfrac{pi}{6}(kin Z))，

求对称中心，先利用(y=sin(2x+cfrac{pi}{6}))求对称中心，最后补充(+1)；

令(2x+cfrac{pi}{6}=kpi(kin Z))，解得(x=cfrac{kpi}{2}-cfrac{pi}{12}(kin Z))，

故对称中心坐标为((cfrac{kpi}{2}-cfrac{pi}{12}，1)(kin Z))

例2【2018云南玉溪一模】函数(f(x)=sqrt{3}sin2x+2cos^2x)的一条对称轴为直线【】

$A、x=cfrac{pi}{12}$ $B、x=cfrac{pi}{6}$ $C、x=cfrac{pi}{3}$ $D、x=cfrac{pi}{2}$

分析：验证法，先变形得到(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1)，利用函数在对称轴处的函数值能取到最值，故只需验证即可，

比如，将(x=cfrac{pi}{12})代入(sin(2x+cfrac{pi}{6}))，即(sincfrac{pi}{3})，并不能使得其取到最值(pm 1)，故舍去(A)；

将(x=cfrac{pi}{6})代入(sin(2x+cfrac{pi}{6}))，即(sincfrac{pi}{2})，能使得其取到最值(+1)，故(B)必然满足；用同样的方法可以验证其余的选项错误；

例3【三轮模拟考试理科用题】已知函数(f(x)=sinx+acosx)的图像的一条对称轴是(x=cfrac{5pi}{3})，则函数(g(x)=asinx+cosx)的最大值是_________.

分析：(f(x)=sinx+acosx=sqrt{a^2+1}sin(x+phi)，tanphi =a)，

由题目可知，(cfrac{5pi}{3}+phi=kpi+cfrac{pi}{2})，

故(phi=kpi+cfrac{pi}{2}-cfrac{5pi}{3}=kpi-cfrac{7pi}{6})，

由于(phi)的值只需要考虑其存在性，故从简原则，

令(k=1)，(phi=-cfrac{pi}{6})，从而(a=tanphi=tan(-cfrac{pi}{6})=-cfrac{sqrt{3}}{3})，

所以(g(x)=-cfrac{sqrt{3}}{3}sinx+cosx=cfrac{2sqrt{3}}{3}sin(x+ heta)，tan heta=-sqrt{3})，

故(g(x)_{max}=cfrac{2sqrt{3}}{3}).

典型例题

例1函数(f(x)=2cos(omega x+phi)(omega eq 0))对任意(x)都有(f(cfrac{pi}{4}+x)=f(cfrac{pi}{4}-x))成立，则(f(cfrac{pi}{4}))的值为【】

$A、2或0$ $B、-2或2$ $C、0$ $D、-2或0$

分析：由任意(x)都有(f(cfrac{pi}{4}+x)=f(cfrac{pi}{4}-x))成立，可知(x=cfrac{pi}{4})为函数的一条对称轴，

而正弦型或余弦型函数在对称轴处必然会取到最值，故(f(cfrac{pi}{4})=pm 2)，选B。

解后反思：此题目如果不注意函数的性质，往往会想到求(omega)和(phi)，这样思路就跑偏了。

例2【2018云南玉溪一模】函数(f(x)=sqrt{3}sin2x+2cos^2x)的一条对称轴为直线【】

$A、x=cfrac{pi}{12}$ $B、x=cfrac{pi}{6}$ $C、x=cfrac{pi}{3}$ $D、x=cfrac{pi}{2}$

分析：(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1)，

法1：比较繁琐，令(2x+cfrac{pi}{6}=kpi+cfrac{pi}{2})，(kin Z)，则(x=cfrac{kpi}{2}+cfrac{pi}{6})，(kin Z)，即对称轴有无数条，

令(k=0)，得到其中的一条对称轴为(x=cfrac{pi}{6})，当(k)取其他的值时，都不能得到其他的选项，故选(B)。

法2：比较简单，利用函数在对称轴处的函数值能取到最值，故只需验证即可，

比如，将(x=cfrac{pi}{12})代入(sin(2x+cfrac{pi}{6}))，即(sincfrac{pi}{3})，并不能使得其取到最值(pm 1)，故舍去(A)；

将(x=cfrac{pi}{6})代入(sin(2x+cfrac{pi}{6}))，即(sincfrac{pi}{2})，能使得其取到最值(+1)，故(B)必然满足；用同样的方法可以验证其余的选项错误；

例3【2018江西赣州5月适应性考试】若函数(f(x)=3cos(2x+cfrac{pi}{6})-a)在([0，cfrac{pi}{2}])上有两个零点(x_1)，(x_2)，则(x_1+x_2)=【】

$A、cfrac{pi}{3}$ $B、cfrac{2pi}{3}$ $C、cfrac{5pi}{6}$ $D、2pi$

分析：只需要考虑函数(y=cos(2x+cfrac{pi}{6}))的对称性即可，由(2x+cfrac{pi}{6}=kpi)，(kin Z)，

得到对称轴(x=cfrac{kpi}{2}-cfrac{pi}{12})，由题可知，对称轴必须在([0，cfrac{pi}{2}])内，令(k=1)，得到对称轴为(x=cfrac{5pi}{12})，

又两个零点(x_1)和(x_2)关于对称轴(x=cfrac{5pi}{12})对称，故(x_1+x_2=cfrac{5pi}{6})，故选(C)。

例4【2019届高三理科数学三轮模拟试题】若函数(f(x)=asinx+cosx)((a)为常数，(ain R))的图像关于直线(x=cfrac{pi}{6})对称，则函数(g(x)=sinx+acosx)的图像【】

$A、关于直线x=-cfrac{pi}{3}对称$

$B、关于直线x=cfrac{pi}{6}对称$

$C、关于点(cfrac{pi}{3}，0)对称$

$D、关于点(cfrac{5pi}{6}，0)对称$

分析：(y=f(x)=sqrt{a^2+1}sin(x+phi))，其中(tanphi=cfrac{1}{a})，

由函数(f(x)=asinx+cosx)的图像关于直线(x=cfrac{pi}{6})对称，可知(phi=cfrac{pi}{3})，

则(a=cfrac{sqrt{3}}{3})，又(g(x)=sinx+cfrac{sqrt{3}}{3}cosx=cfrac{2sqrt{3}}{3}sin(x+cfrac{pi}{6}))，

逐项验证，可知选(D)。

例5函数(y= an(x+cfrac{pi}{3}))的图像关于点((cfrac{pi}{6},0))成中心对称，判断正误；

分析：正切函数的对称中心不一定能用验证法，有时候对称中心不在函数图像上。

由(x+cfrac{pi}{3}=cfrac{kpi}{2}(kin Z))，解得(x=cfrac{kpi}{2}-cfrac{pi}{3}(kin Z))

令(k=1)，则(x=cfrac{pi}{6})，故函数(y= an(x+cfrac{pi}{3}))的图像关于点((cfrac{pi}{6},0))成中心对称，正确；