前言
典例剖析
分析：本题目属于求解分段函数方程，可以将(f(x))这个整体视为已知中的(x)，则原分段函数方程等价于
第一种情形，(0leq f(x)leq 1)且(f(x)=1)；或第二种情形，(f(x)-3=1)且(f(x) otin[0，1])，
其中第一种可化简为(0leq f(x)leq 1)，再等价转化为(egin{cases}xin[0，1]\f(x)=1end{cases})或(egin{cases}x otin[0，1]\0leq x-3leq 1end{cases})
解得(0leq xleq 1)或(3leq xleq 4)；
第二种可化简为(f(x)=4)，再等价转化为(egin{cases}xin[0，1]\1=4end{cases})或(egin{cases}x otin[0，1]\x-3=4end{cases})，解得(x=7)；
综上所述，(x)的取值范围是([0，1]cup[3，4]cup{7})，故选(D)。
【法1】：利用复合函数的图像解决问题；首先利用函数的奇偶性求出函数(f(x))的解析式；
题目给定了(x<0)时的解析式，则当(x>0)时，(-x<0)，则(f(-x)=(-x+1)e^{-x})，
又函数(f(x))为奇函数，则(f(x)=-f(-x)=-(-x+1)e^{-x}=(x-1)e^{-x})，又(f(0)=0)，
故函数的解析式为(f(x)=left{egin{array}{l}{(x+1)e^x，x<0}\{0，x=0}\{(x-1)e^{-x}，x>0}end{array} ight.)
接下来利用导数先研究(x<0)时的单调性，(f(x)=(x+1)e^x)，则(f'(x)=(x+2)e^x)，
则(xin (-infty，-2))时，函数(f(x))单调递减，(xin (2，0))时，函数(f(x))单调递增，又(f(0)=1)，
故结合单调性和奇偶性，做出(R)上的函数示意图如下：
接下来分析复合函数(h(x)=f[f(x)])的图像。
当(x=0)时，(f(0)=0)时，(f(f(0))=0)；
当(xin (0，1))时，内函数(f(x))单调递增，且(f(x)in (-1，0))，此时外函数在((-1，0))上也单调递增，故(f(f(x)))在(xin (0，1))上单调递增；
当(x=1)时，(f(1)=0)，(f(f(1))=0)；
当(xin (1，2))时，内函数(f(x))单调递增，且(f(x)in (0，e^{-2}))，此时外函数在((0，e^{-2}))上也单调递增，故(f(f(x)))在(xin (1，2))上单调递增，且函数值从(1)逐渐增大到(f(f(2)))且(f(f(2))<0)；
当(xin (2，+infty))时，内函数(f(x))单调递减，且(f(x)in (0，e^{-2}))，此时外函数在((0，e^{-2}))上单调递增，故(f(f(x)))在(xin (2，+infty))上单调递减，且函数值逐渐趋近于(-1)；
然后，用奇函数的性质对称画出(x<0)的那一部分，总体图像如下图所示；
由图可知，函数(y=f(f(x)))和(y=m)的交点最多有三个，故选(A)；
- 下述的解法2，最好先说明借助图像如何由(x)找(f(x))，以及由(f(x))找(x)；只要双向的对应理解透彻，下述的解法就好思考多了；
【法2】：由外向里，从函数值找自变量，首先利用函数的奇偶性求出函数(f(x))的解析式；
题目给定了(x<0)时的解析式，则当(x>0)时，(-x<0)，则(f(-x)=(-x+1)e^{-x})，
又函数(f(x))为奇函数，则(f(x)=-f(-x)=-(-x+1)e^{-x}=(x-1)e^{-x})，又(f(0)=0)，
故函数的解析式为(f(x)=left{egin{array}{l}{(x+1)e^x，x<0}\{0，x=0}\{(x-1)e^{-x}，x>0}end{array} ight.)
接下来利用导数先研究(x<0)时的单调性，(f(x)=(x+1)e^x)，则(f'(x)=(x+2)e^x)，
则(xin (-infty，-2))时，函数(f(x))单调递减，(xin (2，0))时，函数(f(x))单调递增，又(f(0)=1)，
故结合单调性和奇偶性，做出(R)上的函数示意图如下：
令(F(x)=0)，即(f(f(x))=m)，由图可知，要使得函数(y=f(f(x)))与(y=m)的图像有交点，则(min (-1，1))；接下来关于(m)的取值分类讨论如下：
当(min (0，e^{-2}))时，如图所示，内函数(f(x)=a，ain (-1，0))或(f(x)=b，bin (1，2))或(f(x)=c，cin (2，+infty))
若(f(x)=b)或(f(x)=c)时，不存在(x)；注意应该是在(y)轴上找点((0，b))，然后过此点做(x)轴的平行线，显然和函数的图像没有交点；
若(f(x)=a， ain (-1，0))时，此时和函数的图像最多有三个交点；
当(min (e^{-2}，1))时，内函数(f(x)=a，ain (-1，0))，此时(f(x)in (-1，0))时，函数(y=a)和函数(y=f(x))图像最多有三个交点，
同理，当(min (-e^{-2}，0))或(min (-1，-e^{-2}))时，仿上说明，同样最多有三个交点，故选(A)；
分析：函数(y=2f^2(x)-3f(x)+1)的零点个数即方程(2f^2(x)-3f(x)+1=0)的根的个数，
故先求解方程(2f^2(x)-3f(x)+1=0)，即([2f(x)-1][f(x)-1]=0)，
解得(f(x)=1)或(f(x)=cfrac{1}{2})，
接下来原方程的根的个数转化为方程(f(x)=1)或(f(x)=cfrac{1}{2})的根的个数，
故做出函数(y=f(x))的图像和直线(y=1)和(y=cfrac{1}{2})，
由图像可以看出，其共有(5)个交点，故原函数的零点个数为(5)个。
法1：从数的角度入手思考，将内函数(f(x))理解为整体，则(f(f(a))=1)等价于以下的两个方程组，
Ⅰ.(left{egin{array}{l}{f(a)>0}\{log_2f(a)=1}end{array} ight.)，或者Ⅱ.(left{egin{array}{l}{f(a)leq 0}\{[f(a)]^2+4[f(a)]+1=1}end{array} ight.)，
解Ⅰ得到，(f(a)=2)①；解Ⅱ得到，(f(a)=0)②或者(f(a)=-4)③；
再次求解①得到，(left{egin{array}{l}{a>0}\{log_2a=2}end{array} ight.)，或(left{egin{array}{l}{aleq 0}\{a^2+4a+1=2}end{array} ight.)，
解得(a=4)或(a=-2-sqrt{5})，
求解②得到，(left{egin{array}{l}{a>0}\{log_2a=0}end{array} ight.)，或(left{egin{array}{l}{aleq 0}\{a^2+4a+1=0}end{array} ight.)，
解得(a=1)或(a=-2pm sqrt{3})，
求解③得到，(left{egin{array}{l}{a>0}\{log_2a=-4}end{array} ight.)，或(left{egin{array}{l}{aleq 0}\{a^2+4a+1=-4}end{array} ight.)，
解得(a=cfrac{1}{16})或(ain varnothing)，
故实数(a)的所有取值的和为(4-2-sqrt{5}+1-2-sqrt{3}-2+sqrt{3}+cfrac{1}{16}=-cfrac{15}{16}-sqrt{5})。
法2：从图像入手分析，待编辑。
分析：首先学习理解一个分段函数方程的模型；
分析：先由奇偶性求得(x>0)时，(f(x)=2x+1)，
即得到函数的解析式为(f(x)=egin{cases}2x-1&x<0\0&x=0\2x+1&x>0end{cases})，且已知(f(a)=3)，求(a)的值，
等价转化为三个不等式组 (egin{cases}a<0\2a-1=3end{cases})，或(egin{cases}a=0\0=3end{cases})，或(egin{cases}a>0\2a+1=3end{cases})，
解得(a=1)。
学习理解透彻了上述模型后，我们开始求解本题目：
【法1】：从数的角度求解；令(f(x)=t)，则函数的零点问题转化为方程(f(t)=-1)的解的个数问题；
即相当于已知(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1，xleqslant 0}\{lnx，x>0，}end{array} ight.) 且(f(t)=-1)，求(t)的值；
则上述分段函数方程等价于(left{egin{array}{l}{tleqslant 0}\{t+1=-1}end{array} ight.) 或(left{egin{array}{l}{t> 0}\{lnt=-1}end{array} ight.)
解得(t=-2)或者(t=cfrac{1}{e})，即(f(x)=-2)或者(f(x)=cfrac{1}{e})，到此题目又可以转化为
已知(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1，xleqslant 0}\{lnx，x>0，}end{array} ight.) 且(f(x)=-2)，求(x)的值；可以仿上求解得到(2)个(x)的值；
或已知(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1，xleqslant 0}\{lnx，x>0，}end{array} ight.) 且(f(x)=cfrac{1}{e})，求(x)的值；亦可以仿上求解得到(2)个(x)的值；
故所求的零点的个数为(4)个。
【法2】：从形的角度求解；先做出分段函数图像如下：
先将函数的零点问题转化为方程(f[f(x)]=-1)的根的个数问题；作直线(y=-1)与函数(y=f(x))图像有两个交点，其横坐标分别为(x=-2)和(x=cfrac{1}{e})，
然后在同样的图上，再分别作直线(y=-2)和(y=cfrac{1}{e})，可以看出，这两条直线分别和分段函数(y=f(x))有两个交点，故共有四个交点。即所求的零点的个数为(4)个。
法1：若能将(f(a))理解成已知函数的(x)，
则可以将(f(f(a))leq 2)等价转化为以下的两个不等式组：
(egin{cases}&f(a)<0\&f^2(a)+f(a)leq 2 end{cases}) 或 (egin{cases}&f(a)ge0\&-f^2(a)leq 2 end{cases})
分别解得：(-2leq f(a)<0)或(f(a)ge 0)，故(f(a)ge -2)；
到此问题转化为已知(f(x)=egin{cases}x^2+x,&x<0\-x^2,&xge 0 end{cases})，(f(a)ge -2)，
求实数(a)的取值范围，这就容易多了。
再次转化为(egin{cases}&a<0\&a^2+age -2 end{cases}) 或 (egin{cases}&age0\&-a^2ge -2 end{cases})
分别解得：(a<0)或(0leq aleq sqrt{2})，故实数(a)的取值范围为((-infty，+sqrt{2}])。
解后反思：本题经过两次抽丝剥茧般的处理，第一次的结果得到(f(a)ge -2)，
第二次的结果得到(ain (-infty，+sqrt{2}])。
法2：图像法
自行做出函数图像，结合图像可知，
要使得(f(f(a))leq 2)，则必须(f(a)ge -2)，
这时就转化为分段函数不等式问题了。
(f(a)ge -2)等价于以下两个不等式组：
(egin{cases}&a<0 \&a^2+age -2end{cases})或(egin{cases}&age 0 \&-a^2ge -2end{cases})。
解得(a<0)或(0leq aleq sqrt{2})，
故(ain(-infty，sqrt{2}])。
①方程(f[g(x)]=0)有且仅有(6)个根；②方程(g[f(x)]=0)有且仅有(3)个根；
③方程(f[f(x)]=0)有且仅有(5)个根；④方程(g[g(x)]=0)有且仅有(4)个根；
则正确的命题有 _______________。①③④
【法1】：从里向外分析，重新配图；得空整理；
对于命题①而言，复合函数为(f[g(x)])；为什么如下选择区间？理由[1]
在([-2，x_0])上，(f[g(x)] earrow)，(f[g(-2)]=f(-2)=-2)，(f[g(x_0)]=f(-1)=1)，其中(g(x_0)=-1);
在([x_0，x_1])上，(f[g(x)]searrow)，(f[g(x_1)]=f(0)=0)，其中(g(x_1)=0)；
在([x_1，x_2])上，(f[g(x)]searrow)，(f[g(x_2)]=f(1)=-1)，其中(g(x_2)=1)；
在([x_2，-1])上，(f[g(x)] earrow)，(f[g(-1)]=f(2)=2)；
在([-1，0])上，(f[g(x)]searrow)，(f[g(0)]=f(1)=-1)；图中未说明，假定(g(0)=1);
在([0，1])上，(f[g(x)] earrow)，(f[g(1)]=f(-0.3)=0.4)；(g(1)=-0.3)，(f(-0.3)=0.4)为估算值；
在([1，x_3])上，(f[g(x)] earrow)，(f[g(x_3)]=f(-1)=1)，其中(g(x_3)=-1)；
在([x_3，2])上，(f[g(x)]searrow)，(f[g(2)]=f(-2)=-2)；
根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程(f[g(x)]=0)有且仅有(6)个根；故①正确；
当我们先选择函数(g(x))的区间为([-2，-1])时，此时虽然能保证内函数(g(x))单调递增，但是此时内函数的值域(g(x)in [-2，2])，其投射到外函数(f(x))上时，就放置到了外函数(f(x))的定义域([-2，2])内，此时外函数的单调性不唯一，说明我们一开始选取的内函数的研究区间([-2，-1])有些大了，所以需要压缩；一直压缩到([-2，x_0])，其中(g(x_0)=-1)，这时候内函数的值域(g(x)in [-2，-1])，刚好投射到外函数的单调递增区间上，说明此时的区间选取是恰当合理的，其他的区间选取与此同理同法；
对于命题②而言，复合函数为(g[f(x)])；
在([-2，x_4])上，(g[f(x)] earrow)，(g[f(-2)]=g(-2)=-2)，(g[f(x_4)]=g(-1)=2)，其中(f(x_4)=-1);
在([x_4，x_5])上，(g[f(x)]searrow)，(g[f(x_5)]=g(0)=1)，其中(f(x_5)=0)；
在([x_5，-1])上，(g[f(x)]searrow)，(g[f(-1)]=g(1)=-0.3)；
在([-1，0])上，(g[f(x)] earrow)，(g[f(0)]=g(0)=1)；
在([0，1])上，(g[f(x)] earrow)，(g[f(1)]=g(-1)=2)；
在([1，x_6])上，(g[f(x)]searrow)，(g[f(x_6)]=g(1)=0)，其中(f(x_6)=1)；
在([x_6，2])上，(f[g(x)]searrow)，(g[f(2)]=g(2)=-2)；
根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程(g[f(x)]=0)有且仅有(4)个根；故②错误；
对于命题③而言，复合函数为(f[f(x)])；
在([-2，x_4])上，(f[f(x)] earrow)，(f[f(-2)]=f(-2)=-2)，(f[f(x_4)]=f(-1)=1)，其中(f(x_4)=-1);
在([x_4，x_5])上，(f[f(x)]searrow)，(f[f(x_5)]=f(0)=0)，其中(f(x_5)=0)；
在([x_5，-1])上，(f[f(x)]searrow)，(f[f(-1)]=f(1)=-1)；
在([-1，0])上，(f[f(x)] earrow)，(f[f(0)]=f(0)=0)；
在([0，1])上，(f[f(x)] earrow)，(f[f(1)]=f(-1)=1)；
在([1，x_6])上，(f[f(x)]searrow)，(f[f(x_6)]=f(1)=-1)，其中(f(x_6)=1)；
在([x_6，2])上，(f[f(x)] earrow)，(f[f(2)]=f(2)=2)；
根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程(f[f(x)]=0)有且仅有(5)个根；故③正确；
对于命题④而言，复合函数为(g[g(x)])；
在([-2，x_0])上，(g[g(x)] earrow)，(g[g(-2)]=g(-2)=-2)，(g[g(x_0)]=g(-1)=2)，其中(g(x_0)=-1);
在([x_0，x_1])上，(g[g(x)]searrow)，(g[g(x_1)]=f(0)=0)，其中(g(x_1)=0)；
在([x_1，x_2])上，(g[g(x)]searrow)，(g[g(x_2)]=g(1)=-0.3)，其中(g(x_2)=1)；
在([x_2，-1])上，(g[g(x)]searrow)，(g[g(-1)]=g(2)=-2)；
在([-1，0])上，(g[g(x)] earrow)，(g[g(0)]=g(1)=0)；
在([0，1])上，(g[g(x)] earrow)，(g[g(1)]=g(0)=1)；
在([1，x_3])上，(g[g(x)] earrow)，(g[g(x_3)]=g(-1)=2)，其中(g(x_3)=-1)；
在([x_3，2])上，(g[g(x)]searrow)，(g[g(2)]=f(-2)=-2)；
根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程(g[g(x)]=0)有且仅有(4)个根；故④正确；
综上所述，正确的命题有①③④。
法2：从外向里分析，由图像可知，(-2leqslant g(x)leqslant 2)，(-2leqslant f(x)leqslant 2)，
对于命题①而言，由于满足方程(f[g(x)]=0)的(g(x))有(3)个不同值，由于每个值(g(x))又对应了(2)个(x)值，故满足(f[g(x)]=0)的(x)值有(6)个，即方程(f[g(x)]=0)有且仅有(6)个根，故命题①正确；
[图像使用方法说明]：由(y=f(x))的图像可以看出，使得(f(x)=0)的三个零点值分别为(x_1=-1.6)，(x_2=0)，(x_3=1.6)[估算]，
在函数(y=g(x))的图像中，分别做直线(g(x)=-1.6)，(g(x)=0)，(g(x)=1.6)，每一条直线和函数(y=g(x))都有(2)个交点，故共有(6)个交点。
对于命题②而言，由于满足方程(g[f(x)]=0)的(f(x))有(2)个不同值，从图中可知，每一个值(f(x))，一个(f(x))的值在((-2，-1))上，另一个(f(x))的值在((0，1))上，当(f(x))的值在((-2，-1))上时，原方程有一个解；当(f(x))的值在((0，1))上时，原方程有(3)个解，故满足(g[f(x)]=0)的(x)值有(4)个，即方程(g[f(x)]=0)有且仅有(4)个根，故命题②不正确；
对于命题③而言，由于满足方程(f[f(x)]=0)的(f(x))有(3)个不同值，从图中可知，一个(f(x))的值在((-2，-1))上，一个(f(x))的值为(0)，另一个(f(x))的值在((1，2))上；当(f(x)=0)对应了(3)个不同的(x)值，当(f(x))在((-2，-1))上时，只对应一个(x)值；当(f(x))的值在((1，2))上时，也只对应一个(x)的值，故满足(f[f(x)]=0)的(x)值有(5)个，即方程(f[f(x)]=0)有且仅有(5)个根，故命题③正确；
对于命题④而言，由于满足方程(g[g(x)]=0)的(g(x))有(2)个不同值，从图中可知，每个(g(x))的值对应(2)个不同的(x)值，故满足(g[g(x)]=0)的(x)值有(4)个，即方程(g[g(x)]=0)有且仅有(4)个根，故命题④正确；
综上所述，正确的命题有①③④。
法1：【迭代递推】
(a_1=f(2^1)=2)，即(f(2)=2)，
(a_n=f(2^n)=f(2cdot2^{n-1})=2f(2^{n-1})+2^{n-1}f(2))
(=2^1cdot f(2^{n-1})+2^ncdot 1=2[2f(2^{n-2})+2^{n-2}f(2)]+2^ncdot 1)
(=2^2cdot f(2^{n-2})+2^ncdot 2)
(=2^3cdot f(2^{n-3})+2^ncdot 3)
(=2^4cdot f(2^{n-4})+2^ncdot 4)
(=2^{n-1}cdot f(2^1)+2^n cdot (n-1)=ncdot 2^n)；
法2：【赋值法】
由题目(a_n=f(2^n))可知，(a_{n+1}=f(2^{n+1}))，且(a_1=f(2)=2)
由于对任意的(x，yin R)都有(f(xy))(=xf(y))(+yf(x))成立，
令(x=2^n)，(y=2)，则有(f(2^{n+1})=f(2^ncdot 2)=2^nf(2)+2f(2^n))，
即(a_{n+1}=2a_n+2 imes 2^n)，即(a_{n+1}=2a_n+2^{n+1})，
接下来两边同时除以(2^{n+1})，得到
(cfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=cfrac{a_{n}}{2^{n}}+1)
则数列({cfrac{a_n}{2^n}})是首项为(1)，公差为(1)的等差数列，
则有(cfrac{a_n}{2^n}=1+(n-1) imes 1=n)，
即所求通项公式为(a_n=ncdot 2^n)。
法1：可以计算出数列的前有限项，归纳猜想得到通项公式从而求解；
由题目可知(f_1(x)=cfrac{2}{1+x}，f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x)))，
将(f_n(x))代入(f_1(x))得到，(f_{n+1}(x)=cfrac{2}{1+f_n(x)})，
用此式依次计算得到：
(f_1(x)=cfrac{2}{1+x}，f_1(0)=2，a_1=cfrac{f_1(0)-1}{f_1(0)+1}=cfrac{1}{4})；
(f_2(x)=cfrac{2(1+x)}{3+x}，f_2(0)=cfrac{2}{3}，a_2=cfrac{f_2(0)-1}{f_2(0)+1}=-cfrac{1}{8})；
(f_3(x)=cfrac{2(3+x)}{5+3x}，f_3(0)=cfrac{6}{5}，a_3=cfrac{f_3(0)-1}{f_3(0)+1}=cfrac{1}{16}，cdots)；
由此猜想数列({a_n})是首项为(cfrac{1}{4})，公比为(-cfrac{1}{2})的等比数列，
通项公式为(a_n=cfrac{1}{4}cdot(-cfrac{1}{2})^{n-1})，
则(a_{2017}=cfrac{1}{4}cdot(-cfrac{1}{2})^{2017-1}=cfrac{1}{2^{2018}}).
法2：由上式得到启发，我们可以直接计算如下：
(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=cfrac{cfrac{f_{n+1}(0)-1}{f_{n+1}(0)+2}}{cfrac{f_n(0)-1}{f_n(0)+2}}=cfrac{cfrac{f_1(f_n(0))-1}{f_1(f_n(0))+2}}{cfrac{f_n(0)-1}{f_n(0)+2}})
(=cfrac{cfrac{frac{2}{1+f_n(0)}-1}{frac{2}{1+f_n(0)}+2}}{cfrac{f_n(0)-1}{f_n(0)+2}}=cfrac{cfrac{1-f_n(0)}{2(f_n(0)+2)}}{cfrac{f_n(0)-1}{f_n(0)+2}} =-cfrac{1}{2})，
即(q=-cfrac{1}{2})，再计算(a_1=cfrac{f_1(0)-1}{f_1(0)+1}=cfrac{1}{4})；
故数列({a_n})是首项为(cfrac{1}{4})，公比为(-cfrac{1}{2})的等比数列，
通项公式为(a_n=cfrac{1}{4}cdot(-cfrac{1}{2})^{n-1})，则(a_{2017}=cfrac{1}{4}cdot(-cfrac{1}{2})^{2017-1}=cfrac{1}{2^{2018}}).
- 上次编辑时间：2019-07-21