构造函数习题2

例26(2013辽宁卷)(构造函数)

设函数(f(x))满足(x^2f'(x)+2xf(x)=cfrac{e^x}{x})，(f(2)=cfrac{e^2}{8})，则(x>0)时，(f(x)) 【】

$A.有极大值，无极小值$

$B.有极小值，无极大值$

$C.既有极大值，又有极小值$

$D.既无极大值也无极小值$

分析：由已知可得，([x^2cdot f(x)]'=cfrac{e^x}{x}①)，

又(f(2)=cfrac{e^2}{8})，由已知(x^2f'(x)+2xf(x)=cfrac{e^x}{x})，令(x=2)，得到(4f'(2)+4f(2)=cfrac{e^2}{2})，解得(f'(2)=0)，

又由(x^2f'(x)=cfrac{e^x}{x}-2xf(x))，两边同乘以(x)，得到(x^3f'(x)=e^x-2[xf(x)])，

令(g(x)=x^3f'(x)=e^x-2[xf(x)])，求导并将①式代入，得到(g'(x)=(e^x)'-2[xf(x)]'=e^x-2cfrac{e^x}{x}=e^xcfrac{x-2}{x})，

(xin (0，2))时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减，(xin (2，+infty))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，

故(g(x)_{min}=g(2)=2^3f'(2)=0)，故(g(x)ge 0)，即(x^3f'(x)ge 0)，

当(x>0) 时，(f'(x)ge 0)，即函数(f(x))在((0，+infty))单调递增，故函数(f(x))既无极大值也无极小值。

故选D。

例27【2019届宝中高三文科第二次月考第12题】定义在实数集上的偶函数(f(x))的导函数为(f'(x))，若对任意实数(x)都有(f(x)+cfrac{x}{2}f’(x)<1)恒成立，则使得关于(x)的不等式(x^2f(x)-f(1)<x^2-1)成立的实数(x)的取值范围是【】

$A.{xin R mid x eq pm 1}$ $B.(-1，1)$ $C.(-1，0)cup (0，1)$ $D.(-infty，-1)cup(1，+infty)$

分析：先将(f(x)+cfrac{x}{2}f’(x)<1)转化为(2f(x)+xf'(x)<2)，即(2f(x)+xf'(x)-2<0)，

结合已知条件，构造(g(x)=x^2cdot f(x)-x^2)，

则(g'(x)=2xf(x)+x^2f(x)-2x=x(2f(x)+xf'(x)-2))，

当(x>0)时，(g'(x)=xcdot(2f(x)+xf'(x)-2)<0)，

故(xin (0，+infty))时，(g(x))单调递减；由偶函数知道(xin (-infty，0))时，(g(x))单调递增；

且(g(0)=0)，此时我们是可以画出其大致示意图的。

待解的不等式(x^2f(x)-f(1)<x^2-1)可以转化为(x^2f(x)-x^2<f(1)-1)，

即(g(x)<g(1))，由偶函数可知(g(|x|)<g(1))，

又(xin (0，+infty))时，(g(x))单调递减；

故有(|x|>1)，解得(x<-1)或(x>1)；故选(D)。

例28已知(f'(x)<f(x))，且(f(x+2))为偶函数，(f(4)=1)，则(f(x)<e^x)的解集。

分析：将不等式变形为(cfrac{f(x)}{e^x}<1)，

故构造函数(g(x)=cfrac{f(x)}{e^x})，则(g'(x)=cfrac{f'(x)-f(x)}{e^x}<0)，故(g(x))单调递减，

又(f(x+2))为偶函数，故有(f(-x+2)=f(x+2))，令(x=2)，可知(f(0)=f(4)=1)，

则(g(0)=cfrac{f(0)}{e^0}=1)，故原不等式变形为(g(x)<1=g(0))，

由(g(x))单调递减，可知解集为({x mid x>0})。

例29【接连两次构造函数】已知函数(f(x))的导数为(f'(x))，(f(x))不是常数函数，且((x+1)f(x)+xf'(x)ge 0)对任意(xin[0，+infty))恒成立，则下列不等式一定成立的是【】

$A.f(1)<2ef(2)$ $B.ef(1)

分析：由题目可知，(xf(x)+f(x)+xf'(x)ge 0)，令(g(x)=xf(x))，则有(g(x)+g'(x)ge 0)，

令(h(x)=e^xg(x))，则(h’(x)=e^xg(x)+e^xg'(x)ge 0)，故(h(x))在([0，+infty))上单调递增，

故有(h(2)>h(1))，即(e^2cdot 2cdot f(x)>ecdot 1cdot f(x))，化简得到(f(1)<2ef(2))，故选(A)。

例30【2018四川达州一诊】若任意(a)，(b)满足(0<a<b<t)，都有(blna<alnb)，则(t)的最大值为__________。

提示：对(blna<alnb)变形得到(cfrac{lna}{a}<cfrac{lnb}{b})，故构造(h(x)=cfrac{lnx}{x})，则其在((0，e))上单调递增，在((e，+infty))上单调递减，故(h(x)_{max}=h(e))，故(t_{max}=e)。