实际应用问题中的最值

前言

典例剖析

例1【2019届高三理科数学三轮模拟试题】某莲藕种植塘每年的固定成本是(1)万元，每年最大规模的种植量是(8)万斤， 每种植一斤藕，成本增加(0.5)元，如果销售额函数是(f(x)=-cfrac{1}{8}x^3+cfrac{9}{16}ax^2+cfrac{1}{2}x)，((x)是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，(a)是常数)，若种植(2)万斤，利润是(2.5)万元，则要使利润最大，每年需要种植莲藕【】万斤。

$A.8$ $B.6$ $C.3$ $D.5$

分析：注意理解题目的意思，“每年最大规模的种植量是(8)万斤”，意思是说定义域为(0<x<8)，“若种植(2)万斤，利润是(2.5)万元”，意思是为了让我们求出(a)值，

由题可知，利润函数(y=f(x)-1-cfrac{1}{2}x=-cfrac{1}{8}x^3+cfrac{9}{16}ax^2-1)，其中(0<x<8)，

当(x=2)时，(y=-1+cfrac{9}{4}a-1=2.5)，解得(a=2)，

综上所述，利润(y=-cfrac{1}{8}x^3+cfrac{9}{8}x^2-1)，(0<x<8)，

(y'=-cfrac{3}{8}x^2+cfrac{9}{4}x=-cfrac{3}{8}(x^2-6x)=-cfrac{3}{8}x(x-6))，

则当(xin (0，6))时，(y'>0)，函数单调递增，当(xin (6，8))时，(y'<0)，函数单调递减，

故当(x=6)时，利润最大，故选(B)。

例2【求解分段函数的最值，应用问题】某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产(x)千件该产品需要另外投入的生产成本为(G(x))(单位：万元)，当年产量不足(80)千件时，(G(x)=cfrac{1}{3}x^2+10x)；当年产量不小于(80)千件时，(G(x)=51x+cfrac{10000}{x}-1450)；已知每件产品的售价为(0.05)万元。通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是多少？

分析：本题目的实质是求解分段函数的最大值，但是还有几个难点：其一单位的统一，其二根据常识列出年利润的分段函数，其三在每一段上求最大值，最后比较得到函数在整个定义域上的最大值。其中(“利润=销售量 imes 价格-生产成本-固定成本”)

解析：由题目得到生产成本为(G(x)=egin{cases} cfrac{1}{3}x^2+10x &x<80 \ 51x+cfrac{10000}{x}-1450 &xge 80end{cases}).

每千件的价格为(1000 imes 0.05=50(万元))，

每(x)千件的销售额为(1000 imes 0.05x=50x(万元))，

设年利润函数为(y)，

则(y=f(x)=egin{cases} 50x-(cfrac{1}{3}x^2+10x)-250， &x<80 \ 50x-(51x+cfrac{10000}{x}-1450)-250 &xge 80end{cases}).

接下来在每一段上分别求函数的最大值，

当(x<80)时，(f_1(x)= 50x-(cfrac{1}{3}x^2+10x)-250=-cfrac{1}{3}(x-60)^2+950， x<80)，

故当(x=60 in (0，80))时，([f_1(x)]_{max}=950(万元))

当(xge 80)时，(f_2(x)= 50x-(51x+cfrac{10000}{x}-1450)-250=1200-(x+cfrac{10000}{x})ge 1200-2 imes 100=1000)，

故当(x=100 in (80，+infty))时，([f_2(x)]_{max}=1000(万元)>[f_1(x)]_{max}=950(万元))，

故所获年利润的最大值(1000)万元。

备注：若某一段上的函数为三次多项式函数，可以利用导数求解其最大值；