近似计算和估值计算

前言

2019年的考试说明中对运算能力的详细描述是这样的：会根据法则、公式进行变形和正确运算，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据问题要求进行估算或近似计算。

运算求解能力是思维能力和运算技能的结合。运算包括对数值的计算和近似计算，对数学表达式的变形，对几何图形相关几何量的计算求解等。运算求解能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。

对运算求解能力的考查，不仅包括数的运算，还包括式的运算，兼顾对算理和逻辑推理的考查。考查主要是以含字母的式的运算为主，包括数字的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三角恒等变形、求导运算、概率计算、向量运算和几何图形中的计算等。运算结果具有存在性、确定性和最简性。
运算求解能力是一项基本能力，在代数、三角函数、立体几何、平面解析几何、统计与概率、导数、向量等内容中都有所体现。运算的作用不仅是只求出结果，有时还可以辅助证明(以算代证)。运算能力是最基础的又是应用最广的一种能力，高考中对运算求解能力的考查主要体现在运算的合理性、准确性、熟练性、简捷性。

近似计算

• 根式：(sqrt{2}=1.414cdots)；(sqrt{3}=1.732cdots)；(sqrt{5}=2.236cdots)；(sqrt{10}=3.162cdots)；

• 分式：(cfrac{1}{3}=0.333cdots)；(cfrac{pi}{2}=1.57079cdots)；

• 指数式：(e=2.718281cdots)；(e^2=7.389cdots)；

• 对数式：(lg2approx 0.3010)；(lg3approx 0.4771)；(ln2approx 0.6931)；(lg3approx 1.097)；

• 三角式：(sin18^{circ}=cfrac{sqrt{5}-1}{2})；

典例剖析

例1求(0.998^6)的误差小于(0.001)的近似值是_____________。

分析：(0.998^6=(1-0.002)^2=1+6 imes (-0.002)+15 imes (-0.002)^2+cdots+(-0.002)^6)

由于(T_3=15 imes (-0.002)^2=0.00006<0.001)，

即第3项以后的项的绝对值都小于(0.001)，

所以从第3项起，以后的项可以忽略不计，

即(0.998^6=(1-0.002)^2approx 1+6 imes (-0.002)=0.998)。

故(0.998^6)的误差小于(0.001)的近似值是(0.998)。

例2【2019年高考数学全国卷理科新课标Ⅱ第4题改编】将高考真题中的物理知识背景省略，高度抽象就得到了如下的数学题目：

已知公式：(cfrac{M_1}{(R+r)^2}+cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)cfrac{M_1}{R^3})，且已知(alpha=cfrac{r}{R})，(cfrac{3alpha^3+3alpha^4+alpha^5}{(1+alpha)^2}approx 3alpha^3)，试用(M_1)，(M_2)，(R)表示(r)的近似值；

$A.sqrt{cfrac{M_2}{M_1}}cdot R$ $B.sqrt{cfrac{M_2}{2M_1}}cdot R$ $C.sqrt[3]{cfrac{3M_2}{M_1}}cdot R$ $D.sqrt[3]{cfrac{M_2}{3M_1}}cdot R$

分析：联系到本年度的Ⅱ卷高考数学题目的解答，首先要突破的是对题意的理解，大体意思就是，给定了一个方程，要求你将方程中的(r)求解出来，但是由于是用手工计算，为了降低难度，给了一个近似参考公式，你必须使用这个近似计算公式，才能顺利求解。理解了题意之后，还有一个问题，就是该如何使用近似计算公式。由于近似计算中提到了(alpha=cfrac{r}{R})，所以我们需要首先让方程中出现(alpha)，使用(cfrac{r}{R}=alpha)代换，求解到最后，再使用(alpha=cfrac{r}{R})，让式子中出现(r)，计算即可。

解析：给方程的两边，同时乘以(R^2)，得到$ cfrac{Rcdot M_1}{(R+r)^2}+cfrac{Rcdot M_2}{r^2}=(R+r)cfrac{Rcdot M_1}{R^3}$，

即(cfrac{M_1}{frac{(R+r)^2}{R^2}}+cfrac{M_2}{frac{r^2}{R^2}}=(R+r)cfrac{M_1}{frac{R^3}{R^2}})，变形得到，

(cfrac{M_1}{(1+alpha)^2}+cfrac{M_2}{alpha^2}=(R+r)cfrac{M_1}{R})，即(cfrac{M_1}{(1+alpha)^2}+cfrac{M_2}{alpha^2}=(1+alpha)M_1)，

然后通分整理，得到，(alpha^2M_1+(1+alpha)^2M_2=(1+alpha)^3cdot alpha^2M_1)，

则有((1+alpha)^2M_2=alpha^2M_1+(3alpha^3+3alpha^4+alpha^5)M_1-alpha^2M_1)，

即((1+alpha)^2M_2=(3alpha^3+3alpha^4+alpha^5)M_1)，则(cfrac{M_2}{M_1}=cfrac{3alpha^3+3alpha^4+alpha^5}{(1+alpha)^2})，

即(cfrac{M_2}{M_1}approx 3alpha^3)，则(alpha^3approx cfrac{M_2}{3M_1})，

故(alphaapprox sqrt[3]{cfrac{M_2}{3M_1}})，即(cfrac{r}{R}approx sqrt[3]{cfrac{M_2}{3M_1}})，则(rapprox sqrt[3]{cfrac{M_2}{3M_1}}cdot R)，故选(D)。

【解后反思】

• 1、你怎么强化自己的阅读理解能力都不嫌过分；近似计算的思路分析过程要清楚；运算功底要扎实，到位。

• 2、((1+alpha)^3=1+3alpha+3alpha^2+alpha^3)；((apm b)^3=a^3mp 3a^2bpm 3ab^2-b^3)；

• 3、整个求解过程中的换元法的使用思路：

(cfrac{M_1}{(R+r)^2}+cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)cfrac{M_1}{R^3}) (xlongequal[同乘以R^2，变形]{为引入alpha，便于近似计算})

(stackrel{frac{r}{R}=>alpha}{Longrightarrow} cfrac{M_1}{(1+alpha)^2}+cfrac{M_2}{alpha^2}=(1+alpha)M_1)，

整理变形，得到(alphaapprox sqrt[3]{cfrac{M_2}{3M_1}})， (stackrel{alpha=>frac{r}{R}}{Longrightarrow} cfrac{r}{R}approx sqrt[3]{cfrac{M_2}{3M_1}})，

从而得到，(rapprox sqrt[3]{cfrac{M_2}{3M_1}}cdot R)，故选(D)。

• 4、该题目到底是数学题目还是物理题目？

当你将本题目的物理知识背景都去掉，抽象为“已知公式：(cfrac{M_1}{(R+r)^2}+cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)cfrac{M_1}{R^3})，且已知(alpha=cfrac{r}{R})，(cfrac{3alpha^3+3alpha^4+alpha^5}{(1+alpha)^2}approx 3alpha^3)，试用(M_1)，(M_2)，(R)表示(r)的近似值”，那么此时的题目就是纯粹的数学题目，当添加上物理知识背景后，既可以看成物理题，也可以看成数学题，由此我们还能感悟得到，数学这门学科应该是物理、化学、生物等学科的工具学科，当其他具体学科中的问题转化建立了数学模型后，剩下的求解就是纯粹的数学知识了。

我们的问题：不清楚化简的方向，不清楚化简的方法。

例3【2018年全国卷Ⅱ卷理科数学解析[陕]】函数(f(x)=cfrac{e^x-e^{-x}}{x^2})图像大致是【】。

【分析】本题目考查函数图像的辨析，需要利用函数的性质求解，函数的性质常包含定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、特殊值、驻点等等，具体要用到哪些性质往往因题目而异。

法1：由题目先分析函数的奇偶性，设(g(x)=e^x-e^{-x})，则(g(-x)=e^{-x}-e^x=-g(x))，即函数(g(x))为奇函数，又函数(y=x^2)为偶函数，故函数(f(x))为奇函数，排除选项A；再由特殊值法，令(x=3)，则估算(f(3)=cfrac{e^3-e^{-3}}{3^2}approxcfrac{2.7^3}{3^2}approx 2)，排除C、D；故选B。

法2：还可以利用奇偶性和单调性来解析本题目，奇偶性如上所述；单调性，(f'(x)=cfrac{(e^x+e^{-x})x^2-(e^x-e^{-x})cdot 2x}{(x^2)^2}=cfrac{(x-2)e^x+(x+2)e^{-x}}{x^3})，接下来常规方法是判断其在(x>0)时的准确的单调区间，这时候不但麻烦，而且已经将题目变成了做函数图像的方法了，不是辨析函数图像的方法，
此时我们观察可以看到当(x>2)时，(f'(x)>0)，故函数(f(x))在((2，+infty))上单调递增，故排除C和D，从而选B。

反思：1、弄清楚题目的类型和相应的解法思路是非常必要的。
2、函数的奇偶性的判断中，有一个常用的方法就是利用性质，比如(奇+奇=奇，奇 imes奇=偶，奇 imes偶=奇，奇/偶=奇)，这些常见的结论一般的高三复习资料上都会有的。

建议：常见函数的奇偶性需要记忆比如，(f(x)=|x|)，(f(x)=e^x+e^{-x})，(f(x)=Acosomega x)都是偶函数；(y=x^3)，(y=e^x-e^{-x})，(y=Asinomega x)都是奇函数。

例4已知(Delta ABC)中，(sin(A-cfrac{pi}{4})=cfrac{7sqrt{2}}{26})，若(Delta ABC)的面积为24，(c=13)，求(a)的值。

分析：由(sin(A-cfrac{pi}{4})=cfrac{7sqrt{2}}{26})，估算(A)为锐角，打开整理得到(sinA-cosA=cfrac{7}{13})，

结合勾股数(5，12，13)可知，(sinA=cfrac{12}{13}，cosA=cfrac{5}{13})，

由(S_{Delta}=cfrac{1}{2}bcsinA=cfrac{1}{2} imes b imes 13 imescfrac{12}{13}=24)，解得(b=4)，

由余弦定理可得(a^2=b^2+c^2-2bccosA=16+169-2 imes 4 imes 13 imes cfrac{5}{13}=145)，

故(a=sqrt{145}).

例4【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第13题】我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有(10)个车次的正点率为(0.97)，有(20)个车次的正点率为(0.98)，有(10)个车次的正点率为(0.99)，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________.

分析：由题目可知，经停该站高铁列车所有车次为(40)个车次，那么利用加权平均数的计算公式就可以求解平均值。

解析：(ar{x}=cfrac{10}{40} imes 0.97+cfrac{20}{40} imes 0.98+cfrac{10}{40} imes 0.99=0.98).

解后反思：听学生反馈，说是题目理解有误，他弄不清楚正点率为(0.98)的(20)个车次里面，到底是不是包含了开始说的那(10)个车次，很明显是不包含的，故正确、准确理解题意很关键。

例5【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第20题】已知函数(f(x)=lnx-cfrac{x+1}{x-1})，利用零点存在性定理判断函数在((1，+infty))内是否有零点时，用赋值法估算(f(e))和(f(e^2))的值；

解析：(f(e)=1-cfrac{e+1}{e-1}<0)，(f(e^2)=2-cfrac{e^2+1}{e^2-1}=cfrac{e^2-3}{e^2-1}>0)，所以(f(x))在((1，+infty))内有唯一的零点(x_1)，即(f(x_1)=0)；

例6

分析：形成一个首项为(9)，公差为(30)的等差数列，由(9+(n-1) imes 30=450)，

解得(napprox 15.7)，再用(n=15)代入确认，(9+(15-1) imes 30=429)，

故在第一组中有(15)个人，第二组的第一个号码为(429+30=459)，

再用同样的思路求解第二组的人数有(10)个，故第三组的人数有(7)个。

从折线图中估算平均数和方差、标准差等，