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  • 半正多面体

    前言

    典例剖析

    例1【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第16题】中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”,半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体体现了数学的对称美,图2是一个棱数为(48)的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为(1),则该半正多面体共有__________个面,其棱长为_____________。

    分析:半正多面体的制作过程,如下图所示;

    解析:如果我们将其看成是三层的,则每一层都有(8)个面,再外加上下两个面,故共有(3 imes 8+2=26)个面。

    如图所示,设棱长为(x),即(MN=NE=x),由( riangle EHN)为等腰直角三角形,

    (NE=x),则可知(NH=cfrac{sqrt{2}}{2}x),又(MN+2NH=1)

    (x+2 imes cfrac{sqrt{2}}{2}x=1),即((sqrt{2}+1)x=1),解得(x=sqrt{2}-1).

    综上可知,此半正多面体共有(26)个面,棱长为(sqrt{2}-1)

    【解后反思】

    1、求其表面积;

    2、求其体积;

    3、求其内切球的半径;

    分析:由这个动画可以看出,该半正多面体没有内切球。

    4、求其外接球的半径;

    外接球的半径可以借助下图来求解。

    5、古典概型中的几何体计数

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