前言
自从高中数学中引入了导数之后，能求解单调性问题的函数的类型和范围大大拓展了，但是随之也带来了许多困惑，本博文希望和各位一起作以探讨。
必备知识
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导数的相关知识，导数与函数的单调性；
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恒成立命题和能成立命题；
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分离参数法；
相关链接
- 很容易让我们产生疑惑的地方，导数法求参数取值范围时需要注意问题
易混题型
Ⅰ、已知函数的单调性，求参数的取值范围；
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已知函数(f(x))在区间((a，b))上单调递增，则(f'(x)geqslant 0)恒成立且(f(x))不是常函数[勿忘验证]；
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已知函数(f(x))在区间((a，b))上单调递减，则(f'(x)leqslant 0)恒成立且(f(x))不是常函数[勿忘验证]；
Ⅱ、已知函数存在单调区间，求参数的取值范围；
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已知函数(f(x))在区间((a，b))上存在单调递增区间，则(f'(x)>0)能成立[注意：不能转化为(f'(x)geqslant 0)能成立]；
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已知函数(f(x))在区间((a，b))上存在单调递减区间，则(f'(x)< 0)能成立[注意：不能转化为(f'(x)leqslant 0)能成立]；
典例剖析
- 类型1：参数包含在函数的系数中
思路方法：若函数(y=f(x))在区间([a，b])单调递增，则(f'(x)ge 0)在区间([a，b])上恒成立，且导函数(f'(x))不恒为(0)；若函数(y=f(x))在区间([a，b])单调递减，则(f'(x) leq 0)在区间([a，b])上恒成立，且导函数(f'(x))不恒为(0)；
易错警示：漏掉等号，忘掉验证；
【解答】由函数(f(x))在在区间((-4，4))内单调递增，则(f'(x)ge 0)在区间((-4，4))内恒成立，
又(f'(x)=(ax+a^2+1)e^{ax})，注意到(e^{ax}>0)恒成立，即有(ax+a^2+1ge 0)在区间((-4，4))内恒成立，
令(g(x)=ax+a^2+1)为一次型的函数，故只需要满足(left{egin{array}{l}{g(-4)ge 0}\{g(4)ge 0}end{array}
ight.)，
即(left{egin{array}{l}{a^2-4a+1ge 0}\{a^2+4a+1ge 0}end{array} ight.)，
解得，(left{egin{array}{l}{age 2+sqrt{3}或aleq 2-sqrt{3}}\{aleq -2-sqrt{3}或age -2+sqrt{3}}end{array}
ight.)，
即(ain (-infty，-2-sqrt{3}]cup[-2+sqrt{3}，2-sqrt{3}]cup[2+sqrt{3}，+infty))。
[注意]：将(a)取到等号的值代入函数，明显函数不是常函数，故大多题目会直接省略这一点，实际是用头脑已经验证了，但是其他题目就不一样了，举例如下
【法1】：依托(y=cfrac{1}{x})的单调性，则(1-2m>0)，解得(m<cfrac{1}{2})；
【法2】：导数法，但是导数法很容易出错。
导数法：由(f(x)=cfrac{1-2m}{x})在区间((0，+infty))上单调递减，则有
(f'(x)=-(1-2m)cfrac{1}{x^2}leq 0)在区间((0，+infty))上恒成立，
即(2m-1leq 0)，即(mleq cfrac{1}{2})，这个结果是错误的，
原因是缺少验证，当(m=cfrac{1}{2})时， 函数(f(x)=0)为常函数，
不符合题意，故舍去，即(m<cfrac{1}{2})。
- 类型2：参数包含在给定区间端点处
思路方法：集合法，由于函数中不含有参数，故用常规方法能很快求出单调区间，那么给定区间必然是求出的单调区间的子区间，转化为集合的关系求解；导数法，转化为导函数不等式恒成立问题求解。
分析：集合法，先用导数的方法求得函数(f(x))的单调递减区间，(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1))，
令(f'(x)<0)，解得(xin (-2，1))，即其单调递减区间为([-2，1])，此处必须写成闭区间，否则会丢掉参数的个别取值。
而题设又已知函数在([a，a+1])上单调递减，故([a，a+1]subseteq [-2，1])，即问题转化为集合的包含关系问题了。
此时只需要满足(left{egin{array}{l}{-2leqslant a}\{a+1leqslant 1}end{array} ight.)，解得(-2leqslant aleqslant 0)，
故参数(a)的取值范围为([-2，0])。
导数法，由题设可知，(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1))，由于函数在区间([a，a+1])上单调递减，
则(f'(x)=3(x+2)(x-1)leq 0)在区间([a，a+1])上恒成立，则(left{egin{array}{l}{f'(a)leqslant 0}\{f'(a+1)leqslant 0}end{array} ight.)
即(left{egin{array}{l}{3(a+2)(a-1)leqslant 0}\{3(a+3)aleqslant 0}end{array} ight.)，解得(left{egin{array}{l}{-2leqslant aleqslant 1}\{-3leqslant aleqslant 0}end{array} ight.)，则(ain [-2，0])。
- 类型1：参数包含在函数的系数中
直接法：函数(y=f(x))在区间([a，b])上存在单调递增区间，则(f'(x)>0)在区间([a，b])上能成立(或有解)；
函数(y=f(x))在区间([a，b])上存在单调递减区间，则(f'(x)<0)在区间([a，b])上能成立(或有解)；易错警示：多添加了等号；
间接法：不存在单调递增区间，则函数为常函数或单调递减，则恒有(f'(x)=0)或(f'(x)leq 0)在区间([a，b])上恒成立；不存在单调递减区间，则函数为常函数或单调递增，则恒有(f'(x)=0)或(f'(x)ge 0)在区间([a，b])上恒成立；
交集法：若能容易求得给定函数的单调区间，则求得的该区间和已知的单调区间求交集，即可求得参数的取值范围。
【法1，直接法】：(g(x)=cfrac{1}{3}x^3-cfrac{a}{2}x^2+1+2x)，则(g'(x)=x^2-ax+2)，
由(g(x))在区间((-2，-1))内存在单调递减区间，得到，
(g'(x)=x^2-ax+2<0)在区间((-2，-1))上能成立，
分离参数得到，(a < x+cfrac{2}{x})在区间((-2，-1))上能成立，
而(left(x+cfrac{2}{x}
ight)_{max}=-2sqrt{2})，当且仅当(x=cfrac{2}{x})，即(x=-sqrt{2})时取到等号，
故实数(a)的取值范围为((-infty，-2sqrt{2}))。
法2：从反面入手分析，略。
分析：由于函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-x^2+ax)在(R)上存在单调递减区间，
则(f'(x)=x^2-2x+a<0)在(R)上能成立，即(a<-(x^2-2x))能成立，
令(g(x)=-(x^2-2x)=-(x-1)^2+1)，则(a<g(x)_{max}=1)，
故(a<1)，故(ain (-infty，1)).
反思：若转化为(f'(x)=x^2-2x+aleqslant 0)能成立，则得到(aleqslant 1)；
但是，(a=1)时，(f'(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2geqslant 0)，不满足题意，故上述转化错误；
用图像语言解释如下：
注意：若函数(f(x))在区间((a，b))存在单调递减区间，应该得到(f'(x)<0)在区间((a，b))有解或能成立，而不是(f'(x)leq 0)在区间((a，b))有解或能成立。
学生认为：函数(f(x))在区间((a，b))存在单调递减区间，应该得到(f'(x)leq 0)在区间((a，b))有解或能成立，这种认识是错误的，这样解释一下啊，
(f'(x)leqslant 0)在区间((a，b))上有解，对应情形一：(f'(x)<0)在区间((a，b))上有解；或情形二：(f'(x)=0)在区间((a，b))上有解；这两个情形只要有一个满足即可，其中情形一求解结果是区间，而情形二求解结果不是区间，故不符合题意，自然就舍去了。
- 类型2：参数包含在给定区间端点处
思路方法：用常规方法求出单调区间，转化为集合之间的包含关系求解；
分析：由(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1))，则可知函数(f(x))的单调递减区间为([-1，1])，
又由题设可知，函数(f(x)=x^3-3x+1)存在单调递减区间((a，a+1))，
则(f'(x)=3x^2-3<0)在区间((a，a+1))上恒成立，注意：此处不是能成立；
即有((a，a+1)subseteq [-1，1])，即满足(left{egin{array}{l}{a<a+1}\{ageqslant -1}\{a+1leqslant 1}end{array} ight.)
解得，(-1leqslant aleqslant 0)，即(ain [-1，0])。
解后反思：①这类题目应该转化为恒成立而不是能成立类型，否则就不能保证存在这样的单调区间((a，a+1))；
②此类题目在命制时要注意，给定的单调区间(A)和求解得到的单调区间(B)的关系，(Asubseteq B)，否则解集为空集。比如将题目中的单调区间((a，a+1))更改为单调区间((a-2，2a+1))，则解集(ain varnothing)；
①若函数(h(x)=f(x)-g(x))存在单调递减区间，求(a)的取值范围；
分析：(h(x)=lnx-cfrac{1}{2}ax^2-2x)，(xin (0,+infty))
所以(h'(x)=cfrac{1}{x}-ax-2)，由于(h(x))在((0,+infty))上存在单调递减区间，
所以当(xin (0,+infty))时，(cfrac{1}{x}-ax-2<0)有解，[注意：转化为(h'(x)leqslant 0)是错误的]
即(a>cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x})有解，设(G(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x})，
所以只要(a>G(x)_{min})即可。
而(G(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x}=(cfrac{1}{x}-1)^2-1)，则(G(x)_{min}=-1)，
所以(a>-1)，又由于(a eq 0)，
故(a)的取值范围为((-1,0)cup(0,+infty))。
②若函数(h(x)=f(x)-g(x))在区间([1,4])上单调递减，求(a)的取值范围；
分析：由于(h(x)=f(x)-g(x))在区间([1,4])上单调递减，
故当(xin [1,4])时，(h'(x)=cfrac{1}{x}-ax-2leqslant 0)恒成立；
即(ageqslant cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x})恒成立，
由①可知，(G(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x})，所以(ageqslant G(x)_{max})，
而(G(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x}=(cfrac{1}{x}-1)^2-1)，
(xin [1,4])，所以(cfrac{1}{x}in [cfrac{1}{4},1])，
则(G(x)_{max}=-cfrac{7}{16})(此时(x=4))，
所以(ageqslant -cfrac{7}{16})，又由于(a eq 0)，
所以(a)的取值范围为([-cfrac{7}{16},0)cup(0,+infty))。
探究性问题
解析：假设存在实数(a)，使得函数(g(x)=f(x)-ax)在((0,+infty))上单调递增，
则(g'(x)=f'(x)-a=x-cfrac{2a}{x}-2geqslant 0)恒成立，
即(2aleqslant x^2-2x)在((0,+infty))上恒成立，
而函数(h(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1)，则(h(x)_{min}=-1)，
故(2aleqslant -1)，即(aleqslant -cfrac{1}{2})。
当(a=-cfrac{1}{2})时，原函数(g(x))明显不是常函数，故满足题意；
综上所述，(ain (-infty，-cfrac{1}{2}])。
变式训练
提示：导数法，(f'(x)>0)有解，分离参数，再转化为求新函数的最值问题即可，结果：(ain (-infty，2ln2-2))；