直线平面垂直的判定和性质

垂直问题的转化关系示意图

graph LR A((线线垂直))--判定=>
<=性质-->B{线面垂直} B--判定=>
<=性质-->C((面面垂直)) C--判定=>
<=性质-->A

[线perp线 xlongequal[Leftarrow 性质定理]{判定定理Rightarrow}线perp面xlongequal[Leftarrow 性质定理]{判定定理Rightarrow}面perp 面 ]

[线perp 线xlongequal[Leftarrow 性质定理]{判定定理Rightarrow}面perp 面 ]

前言

完善三种语言：文字语言，图形语言，符号语言

以及变换场景的应用情形；

常识储备

识记如图所示的是正方体(ABCD-A'B'C'D')，有如下的常用结论：

(1)体对角线(B'Dperp)平面(ACD')(如图1)

证明：令体对角线(B'D)和平面(ACD')的交点是(N)，由正四面体(B'-ACD')可知，

(N)是三角形底面的中心，连接(OD')，则易知(ACperp BD)，(ACperp BB')，故(ACperp B'D)，

同理(AD'perp B'D)，故体对角线(B'Dperp)平面(ACD')。

(2)(DN=cfrac{1}{3}B'D)(如图1，利用等体积法)

(3)平面(ACD'//A'BC')(如图2)

(4)平面(ACD')与平面(A'BC')的间距是(cfrac{1}{3}B'D)，即体对角线的(cfrac{1}{3})(如图2)

(5)三棱锥(B'-ACD')是正四面体。三棱锥(D-ACD')是正三棱锥。

(6)如果需要将正四面体或者墙角型的正三棱锥恢复还原为正方体，我们可以先画出正方体，然后在里面找出需要的正四面体或者墙角型正三棱锥。

(7)圆内接正方形的中心就是圆心，正方形的对角线的长度就是圆的直径；球内接正方体的中心就是球心，正方体的体对角线的长度就是球的直径。

(8)正方形的棱长设为(2a)，则正方形的内切圆半径为(a)，正方形的外接圆半径为(sqrt{2}a)，三者的关系之比为(2:1:sqrt{2})；

正方体的棱长设为(2a)，则正方体的内切球半径为(a)，正方体的外接球半径为(sqrt{3}a)，三者的关系之比为(2:1:sqrt{3})；

(9)正三角形的棱长设为(2a)，则正三角形的内切圆半径为(cfrac{sqrt{3}}{3}a)，正三角形的外接圆半径为(cfrac{2sqrt{3}}{3}a)，三者的关系之比为(2sqrt{3}:1:2)；

正四面体的棱长设为(2a)，则正四面体的内切球半径为(cfrac{sqrt{6 }}{6}a)，正四面体的外接球半径为(cfrac{sqrt{6 }}{2}a)，三者的关系之比为(2sqrt{6}:1:3)；

判定难点

• 主从关系的转换，比如证明(A_1Fperp DE)不容易时，我们转而证明(DEperp A_1F)可能很容易。山重水复疑无路，柳暗花明又一村。

• 区分清楚判定定理和性质定理。

• 垂直关系的相互转化

典例剖析

• 线线垂直

例10【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，点(O)是四边形(ABCD)的中心，关于直线(A_1O)，下列说法正确的是【】

$A.A_1O//D_1C$ $B.A_1Operp BC$ $C.A_1O//平面B_1CD_1$ $D.A_1Operp平面AB_1D_1$

分析：由于题目中给定点(O)是下底面的中心，故我们想到也做出上底面的中心(E)，如图所示，

当连结(CE)时，我们就很容易看出(A_1O//CE)，以下做以说明；

由于(OC//A_1E)，且(OC=A_1E)，则可知(A_1O//CE)，

又由于(A_1O ot subset 面B_1CD_1)，(CE subset 面B_1CD_1)，故(A_1O//平面B_1CD_1) ，故选(C)，

此时，我们也能轻松的排除(A)，(B)，(D)三个选项是错误的。

• 线面垂直

例3【2017凤翔中学第二次月考理科第19题】如图，(Delta ABC)和(Delta BCD)所在平面互相垂直，且(AB=)(BC=BD)(=2)，(angle ABC=angle DBC=120^{circ})，(E、F、G)分别是(AC、DC、AD)的中点，

(1)求证：(EFperp 平面BCG)

分析提示：只要证明(ADperp 平面BCG)

(2)求三棱锥(D-BCG)的体积。

分析：在平面(ABC)内，作(AOperp BC)，交(CB)延长线于(O)，由平面(ABCperp BCD)，可知(AOperp 平面BDC)，

由(G)到平面(BCD)距离(h)是(AO)长度的一半，在(Delta AOB)中，(AO=ABcdot sin60^{circ}=sqrt{3})，

故(V_{D-BCG}=V_{G-BCD}=cfrac{1}{3}S_{Delta DBC}cdot h)(=cfrac{1}{3}cdot cfrac{1}{2}cdot BDcdot BC)(cdot sin120^{circ}cdot cfrac{sqrt{3}}{2})(=cfrac{1}{2})。

• 面面垂直

例1【2016江苏高考卷】如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(D)、(E)分别是(AB)、(BC)的中点，点(F)在侧棱(BB_1)上，且(B_1Dperp A_1F)，(A_1C_1perp A_1B_1)。

求证：(1)直线(DE//)平面(A_1C_1F).

分析：现在需要(Leftarrow)直线(DE//)平面(A_1C_1F)

(Leftarrow)直线(DE//)平面(A_1C_1F)内的某直线(?)

某条直线可能是三角形的边界线，三角形中线，高线，中位线，或者需要我们做出的某条辅助直线。

证明：因为(D)、(E)分别是(AB)、(BC)的中点，则有(DE//AC//A_1C_1)，

又因为直线(A_1C_1subsetneqq)平面(A_1C_1F)，

(DE otsubseteq)平面(A_1C_1F)，则直线(DE//)平面(A_1C_1F)。

求证(2)平面(B_1DEperp)平面(A_1C_1F).

分析：(Leftarrow)平面(B_1DEperp)平面(A_1C_1F)

(Leftarrow)一个面内的某条直线(perp)另一个面内的两条相交直线。

此时往往需要结合图形及已知条件来确定，比如将一个面内的某条直线暂时确定为直线(A_1F)，

那么此时就需要在另一个平面(B_1DE)内找两条相交直线，且都要能证明和直线(A_1F)，

如果能找到，则这样的思路就基本固定下来了，

思路一大致为：(A_1Fperpegin{cases}B_1D\ DEend{cases})，

从而转证(DEperp A_1F)，从而转证(A_1C_1perp A_1F)，

从而转证(A_1C_1perp)包含(A_1F)的平面(ABB_1A_1)，

从而转证(A_1C_1perpegin{cases}A_1B_1\ A_1Aend{cases})；

思路二大致为：(B_1Dperpegin{cases}A_1F\ A_1C_1end{cases})，

从而转证(A_1C_1perp B_1D)，

从而转证(A_1C_1perp)包含(B_1D_1)的平面(ABB_1A_1)，

从而转证(A_1C_1perpegin{cases}A_1B_1\ A_1Aend{cases})；

证明：你能自主写出证明过程吗？

【反思提升】上述解答中的思路一中，在分析需要证明(A_1Fperp DE)时，包含了视角上的转换，如证明(A_1Fperp DE)不容易时，我们转而证明(DEperp A_1F)，即转证(A_1C_1perp A_1F)，从而接下来就可以考虑证明线面垂直，从而转证(A_1C_1perp)包含(A_1F)的平面(ABB_1A_1)，

例2【2016衡水金卷】如图，在四棱锥(P-ABCD)中，(ABperp PA)，(AB//CD)，且(PB=)(BC=BD)(=sqrt{6})，(CD=2AB=2sqrt{2})，(angle PAD=120^{circ})，(E)和(F)分别是棱(CD)和(PC)的中点。

(1).求证：平面(BEFperp)平面(PCD).

证明：因为(E)为(CD)的中点，(CD=2AB)，则(AB=DE)，又因为(AB//CD)，所以四边形(ABED)为平行四边形。

又因为(BC=BD)，(E)为(CD)的中点，故(BEperp CD)，则四边形(ABED)为矩形，则(ABperp AD)。

又因为(ABperp PA)，(PAcap AD=A)，所以(ABperp 平面PAD)。

又因为(AB//CE)，所以(CDperp 平面PAD)，所以(CDperp PD)。

又因为(EF//PD)，所以(CDperp EF)。又因为(CDperp BE)，所以(CDperp 平面BEF)。所以平面(PCDperp 平面BEF)。

(2).求直线(PD)与平面(PBC)所成角的正弦值。

待补充。