垂直问题的转化关系示意图
前言
完善三种语言:文字语言,图形语言,符号语言
以及变换场景的应用情形;
常识储备
(1)体对角线(B'Dperp)平面(ACD')(如图1)
证明:令体对角线(B'D)和平面(ACD')的交点是(N),由正四面体(B'-ACD')可知,
(N)是三角形底面的中心,连接(OD'),则易知(ACperp BD),(ACperp BB'),故(ACperp B'D),
同理(AD'perp B'D),故体对角线(B'Dperp)平面(ACD')。
(2)(DN=cfrac{1}{3}B'D)(如图1,利用等体积法)
(3)平面(ACD'//A'BC')(如图2)
(4)平面(ACD')与平面(A'BC')的间距是(cfrac{1}{3}B'D),即体对角线的(cfrac{1}{3})(如图2)
(5)三棱锥(B'-ACD')是正四面体。三棱锥(D-ACD')是正三棱锥。
(6)如果需要将正四面体或者墙角型的正三棱锥恢复还原为正方体,我们可以先画出正方体,然后在里面找出需要的正四面体或者墙角型正三棱锥。
(7)圆内接正方形的中心就是圆心,正方形的对角线的长度就是圆的直径;球内接正方体的中心就是球心,正方体的体对角线的长度就是球的直径。
(8)正方形的棱长设为(2a),则正方形的内切圆半径为(a),正方形的外接圆半径为(sqrt{2}a),三者的关系之比为(2:1:sqrt{2});
正方体的棱长设为(2a),则正方体的内切球半径为(a),正方体的外接球半径为(sqrt{3}a),三者的关系之比为(2:1:sqrt{3});
(9)正三角形的棱长设为(2a),则正三角形的内切圆半径为(cfrac{sqrt{3}}{3}a),正三角形的外接圆半径为(cfrac{2sqrt{3}}{3}a),三者的关系之比为(2sqrt{3}:1:2);
正四面体的棱长设为(2a),则正四面体的内切球半径为(cfrac{sqrt{6 }}{6}a),正四面体的外接球半径为(cfrac{sqrt{6 }}{2}a),三者的关系之比为(2sqrt{6}:1:3);
判定难点
-
主从关系的转换,比如证明(A_1Fperp DE)不容易时,我们转而证明(DEperp A_1F)可能很容易。山重水复疑无路,柳暗花明又一村。
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区分清楚判定定理和性质定理。
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垂直关系的相互转化
典例剖析
- 线线垂直
分析:由于题目中给定点(O)是下底面的中心,故我们想到也做出上底面的中心(E),如图所示,
当连结(CE)时,我们就很容易看出(A_1O//CE),以下做以说明;
由于(OC//A_1E),且(OC=A_1E),则可知(A_1O//CE),
又由于(A_1O ot subset 面B_1CD_1),(CE subset 面B_1CD_1),故(A_1O//平面B_1CD_1) ,故选(C),
此时,我们也能轻松的排除(A),(B),(D)三个选项是错误的。
- 线面垂直
(1)求证:(EFperp 平面BCG)
分析提示:只要证明(ADperp 平面BCG)
(2)求三棱锥(D-BCG)的体积。
分析:在平面(ABC)内,作(AOperp BC),交(CB)延长线于(O),由平面(ABCperp BCD),可知(AOperp 平面BDC),
由(G)到平面(BCD)距离(h)是(AO)长度的一半,在(Delta AOB)中,(AO=ABcdot sin60^{circ}=sqrt{3}),
故(V_{D-BCG}=V_{G-BCD}=cfrac{1}{3}S_{Delta DBC}cdot h)(=cfrac{1}{3}cdot cfrac{1}{2}cdot BDcdot BC)(cdot sin120^{circ}cdot cfrac{sqrt{3}}{2})(=cfrac{1}{2})。
- 面面垂直
求证:(1)直线(DE//)平面(A_1C_1F).
分析:现在需要(Leftarrow)直线(DE//)平面(A_1C_1F)
(Leftarrow)直线(DE//)平面(A_1C_1F)内的某直线(?)
某条直线可能是三角形的边界线,三角形中线,高线,中位线,或者需要我们做出的某条辅助直线。
证明:因为(D)、(E)分别是(AB)、(BC)的中点,则有(DE//AC//A_1C_1),
又因为直线(A_1C_1subsetneqq)平面(A_1C_1F),
(DE otsubseteq)平面(A_1C_1F),则直线(DE//)平面(A_1C_1F)。
求证(2)平面(B_1DEperp)平面(A_1C_1F).
分析:(Leftarrow)平面(B_1DEperp)平面(A_1C_1F)
(Leftarrow)一个面内的某条直线(perp)另一个面内的两条相交直线。
此时往往需要结合图形及已知条件来确定,比如将一个面内的某条直线暂时确定为直线(A_1F),
那么此时就需要在另一个平面(B_1DE)内找两条相交直线,且都要能证明和直线(A_1F),
如果能找到,则这样的思路就基本固定下来了,
思路一大致为:(A_1Fperpegin{cases}B_1D\ DEend{cases}),
从而转证(DEperp A_1F),从而转证(A_1C_1perp A_1F),
从而转证(A_1C_1perp)包含(A_1F)的平面(ABB_1A_1),
从而转证(A_1C_1perpegin{cases}A_1B_1\ A_1Aend{cases});
思路二大致为:(B_1Dperpegin{cases}A_1F\ A_1C_1end{cases}),
从而转证(A_1C_1perp B_1D),
从而转证(A_1C_1perp)包含(B_1D_1)的平面(ABB_1A_1),
从而转证(A_1C_1perpegin{cases}A_1B_1\ A_1Aend{cases});
证明:你能自主写出证明过程吗?
【反思提升】上述解答中的思路一中,在分析需要证明(A_1Fperp DE)时,包含了视角上的转换,如证明(A_1Fperp DE)不容易时,我们转而证明(DEperp A_1F),即转证(A_1C_1perp A_1F),从而接下来就可以考虑证明线面垂直,从而转证(A_1C_1perp)包含(A_1F)的平面(ABB_1A_1),
(1).求证:平面(BEFperp)平面(PCD).
证明:因为(E)为(CD)的中点,(CD=2AB),则(AB=DE),又因为(AB//CD),所以四边形(ABED)为平行四边形。
又因为(BC=BD),(E)为(CD)的中点,故(BEperp CD),则四边形(ABED)为矩形,则(ABperp AD)。
又因为(ABperp PA),(PAcap AD=A),所以(ABperp 平面PAD)。
又因为(AB//CE),所以(CDperp 平面PAD),所以(CDperp PD)。
又因为(EF//PD),所以(CDperp EF)。又因为(CDperp BE),所以(CDperp 平面BEF)。所以平面(PCDperp 平面BEF)。
(2).求直线(PD)与平面(PBC)所成角的正弦值。
待补充。