前言
高中阶段使用到因式分解的数学内容有解不等式(尤其是解含参不等式)、导数、解三角形或判断三角形形状等;
- 因式分解的主要方法有:提取公因式法;公式法;拆添项法;十字相乘法;分组分解法;多项式除法;待定系数法;
常用方法
- 提取公因式法;
引例,已知(f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2).求(f'(x));
分析:(f'(x)=1cdot e^x+(x-2)cdot e^x+2a(x-1))(=e^x(x-1)+2a(x-1))(=(x-1)(e^x+2a)),
引例,涉及提取公因式法的常用变形
- 拆添项法;
已知(3t^3-7t^2+4=0),求(t)的值;
分析:先将方程拆项变形为(3t^3-3t^2-4t^2+4=0),然后分组分解得到,(3t^2(t-1)-4(t-1)(t+1)) (=(t-1)(3t^2-4t-4)) (=(t-1)(t-2)(3t+2)=0),
- 公式法;
(a^3pm b^3=(apm b)(a^2mp ab+b^2));(a^2pm 2ab+b^2=(apm b)^2);
- 十字相乘法,使用最为广泛。实际高三数学教学和考试中的解不等式常常是这样的,熟练掌握对你的数学学习会有帮助的。
①(x^2-5sqrt{2}x+8ge 0),即((x-sqrt{2})(x-4sqrt{2})ge 0);
②(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2leq 0),即([x-(m+2)][x-(m-1)]leq 0);
③(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)ge 0);即([x-(m-1)][x-(2m+1)]ge 0);
④(x^2-(a+a^2)x+a^3leq 0),即((x-a)(x-a^2)leq 0);
⑤(x^2-(a+1)x+aleq 0),即((x-1)(x-a)leq 0);
⑥(x^2-(2a+1)x+a(a+1)leq 0);即((x-1)[x-(a+1)]leq 0);
⑦(cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a eq 1));即((x-2a)[x-(a^2+1)]<0),解集为((2a,a^2+1));
⑧(x^2+(m+4)x+m+3<0),即((x+1)[x+(m+3)]<0);
⑨(x^2-(a+cfrac{1}{a})x+1<0),即((x-a)(x-cfrac{1}{a})<0);
⑩(f'(x)=x+(a-e)-cfrac{ae}{x}=cfrac{x^2+(a-e)x-ae}{x}=cfrac{(x+a)(x-e)}{x});
(2e^{2x}-e^xa-a^2=(e^x-a)cdot (2e^x+a)),
(g(x)=[f(x)]^2-2mcdot f(x)+m^2-1=0),即([f(x)-(m-1)][f(x)-(m+1)]=0)
⑾(x^2-2ax+a^2-4=x^2-2ax+(a+2)(a-2)=[x-(a-2)][x-(a+2)]leq0),即(a-2leq xleq a+2) ;
(a^2x^2+ax-2=0),即((ax+2)(ax-1)=0);
- 分组分解法,也能使用于高次式的分解,难点是不容易发现分组的思路。
比如(3x^3-7x^2+4=0),可以分解为(3x^3-3x^3-4x^3+4=3x^2(x-1)-4(x^2-1)=(x-1)(3x^2-4x-4)=(x-1)(x-2)(3x+2));
那么,上式的分解中怎么会想到将(-7x^2)分解为(-3x^2-4x^2)的呢?
- 试商法,原理:若(f(x)=0),则(f(x))中至少含有一个因子(x),即(f(x)=xcdot g(x))或(f(x)=xcdot a)((a)为常数)
对于上式(3x^3-7x^2+4=0),先尝试令(x=0),不满足方程,说明三次三项式(3x^3-7x^2+4)中不能分解出因式(x);
再尝试令(x=1),发现方程成立,说明三次三项式(3x^3-7x^2+4)中应该能分解出因式(x-1),这样另外一个因式的最高次必然会降低为(2)次;
如果还不行再尝试(x=-1),依次类推,(x=0),(x=pm 1),(x=pm 2),等等如此;
那么用试商法得到其中一个因式后,如何得到剩余的因式呢,这可以用多项式除法来解释说明。
- 多项式除法,多用于三次式或高次式的分解
分析:先用试商法,令(x_0=0),如果上述方程成立,说明方程能分解出因子(x_0),本题目中显然不成立;
再令(x_0=1),上述方程不成立,说明方程不能分解出因子(x_0-1);再令(x_0=-1),上述方程成立,
说明方程能分解出因子(x_0+1);这样(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0+1)(x_0^2+bx_0+c)(b,c是常数,待定)),这样做的目的是为了降次;
以下用多项式除法探求另一个因式,多项式除法如下图所示;
看完这个除法,你可能会有这样的想法:其一,多项式的除法和数字的除法本质做法是一样的;其二,这个做法还是比较麻烦;
能不能改进一下呢,回答是肯定的。
- 组合使用法
我们可以用试商法先确定一个因式,从而能确定分组分解的方向,即试商法和分组分解法组合使用。 接上例说明,由于我们知道必定有一个因式为((x_0+1)),故和(x_0^3)分组的只能是(1),从而想到将(4)拆分为(1+3),然后将(-3x_0^2)和(3)分组,如下所示:
如(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0^3+1)-3x_0^2+3=(x_0^3+1)-3(x_0^2-1)) (=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)-3(x_0+1)(x_0-1)) (=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1-3x_0+3)=(x_0+1)(x_0-2)^2);
典例剖析
已知正项等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n),若(7S_6=3S_9),(a_4=2),则数列({a_{3n-2}+log_2a_n})的前(10)项的和(T_{10})=____________。
分析:先由条件容易判定,$q eq 1 $,由(7S_6=3S_9),得到(7 imes cfrac{a_1(1-q^6)}{1-q}=3 imes cfrac{a_1(1-q^9)}{1-q})
转化得到(3q^9-7q^6+4=0),令(q^3=t),变形为(3t^3-7t^2+4=0),
即(3t^3-3t^2-4t^2+4=0),即(3t^2(t-1)-4(t-1)(t+1)=)((t-1)(3t^2-4t-4))(=(t-1)(t-2)(3t+2)=0),
解得(t=1)(舍去),(t=-cfrac{2}{3})(舍去),(t=2);
即(t=q^3=2),则(a_n=a_4cdot q^{n-4}=2q^{n-4}),
则(a_{3n-2}=2cdot q^{3n-6}=2cdot (q^3)^{n-2}=2cdot 2^{n-2}=2^{n-1});
(log_2a_n=log_22cdot q^{n-4}=1+(n-4)log_2q=1+(n-4)cdot cfrac{1}{3}log_2q^3)
(=1+(n-4)cdot cfrac{1}{3}log_22=1+cfrac{n-4}{3});
则(T_{10}=(2^0+2^1+cdots+2^9)+[(1+cfrac{-3}{3})+(1+cfrac{-2}{3})+cdots+(1+cfrac{6}{3}))
(=cfrac{1(2^{10}-1)}{2-1}+10+cfrac{1}{3} imescfrac{(-3+6)10}{2}=1023+15=1038);
解后反思:巧妙利用指数幂的运算性质,可以大大简化本题目的运算过程,降低运算难度。
- 上次编辑时间:2019-07-20