配方法新说

前言

使用公式

注意，平时使用正用公式((apm b)^2=a^2mp 2ab+b^2)，目的是将完全平方式展开，便于下一步合并计算；但涉及到配方法时，却是逆用刚才的公式，(a^2mp 2ab+b^2=(apm b)^2)，目的是找到函数的对称轴，便于判断其单调性等，由于使用的目的不一样，故公式的使用方向也就不一样。

案例说明

例将二次函数配方：(f(x)=-2x^2+5x+3)

分析：(f(x)=-2x^2+5x+3=-2(x^2-cfrac{5}{2}x)+3)

(=-2(x^2-cfrac{5}{2}x+ riangle )+3+2 riangle)

(=-2[x^2-cfrac{5}{2}x+(-cfrac{5}{4})^2]+3+2 imes(-cfrac{5}{4})^2)

(=-2(x-cfrac{5}{4})^2+cfrac{49}{8})

• 配方法步骤

①若有常数项，先将常数项放置到最右边，用意是暂时不让常数项影响我们的配方思路；即(f(x)=ax^2+bx+c)(=(ax^2+bx)+c)

②将二次项的系数化为(1)，在一次项和常数项后边分别空出空位，如( riangle)所示；由于小括号前边有系数(a)，故后边要减去(acdot riangle)，才能保证是恒等变形；即(f(x)=a(x^2+cfrac{b}{a}x+ riangle )+c-acdot riangle)；

③在小括号里边的空位处( riangle)，添加项[一次项系数一半的平方]((cfrac{b}{2a})^2)，为保证等价变形，在括号外的( riangle)处也添加项((cfrac{b}{2a})^2)，整理为(f(x)=a[x^2+cfrac{b}{a}x+(cfrac{b}{2a})^2]+c-acdot(cfrac{b}{2a})^2)；

④化简整理为(f(x)=a(x+cfrac{b}{2a})^2+c-cfrac{b^2}{4a}=a(x+cfrac{b}{2a})^2+cfrac{4ac-b^2}{4ac})；到此配方完成。

对应练习

练1将二次函数配方：(f(x)=-2x^2+3x-2=-2(x-cfrac{3}{4})^2-cfrac{7}{8})；

练2将二次函数配方：(f(x)=3x^2+6x-1=3(x+1)^2-4)；

练3将二次函数配方：(f(x)=cfrac{3}{4}x^2-2x=cfrac{3}{4}(x-cfrac{4}{3})^2-cfrac{4}{3})；

练4将二次函数配方：(g(x)=cfrac{3-2x}{2x^2}=cfrac{3}{2}(cfrac{1}{x})^2-cfrac{1}{x})

(=cfrac{3}{2}[(cfrac{1}{x})^2-cfrac{2}{3} imescfrac{1}{x}+(cfrac{1}{3})^2]-cfrac{3}{2} imes (cfrac{1}{3})^2)

(=cfrac{3}{2}(cfrac{1}{x}-cfrac{1}{3})^2-cfrac{1}{6})，

常规使用

• 二次函数配方求对称轴，如(f(x)=-2x^2+5x+3=-2(x-cfrac{5}{4})^2+cfrac{49}{8})，故对称轴为(x=cfrac{5}{4})；

• 圆方程配方求圆心和半径，如(x^2+y^2-2x+4y=0)，配方为((x-1)^2+(y+2)^2=5=(sqrt{5})^2)，故圆心为((1，-2))，半径为(r=sqrt{5})；

高阶配方

使用高阶配方法，主要是为了函数或者代数式的进一步化简、变形做准备，可能还会用到常数代换等其他方法。用以下例子仔细体会；

• 如(f(x)=cfrac{x^2-2x+2}{x-1}=cfrac{(x^2-2x+1)+1}{x-1})(=cfrac{(x-1)^2+1}{x-1})(=(x-1)+cfrac{1}{x-1})，便于利用模板函数(y=x+cfrac{1}{x})变形得到(f(x))；

• 如(f( heta)=sin^4 heta+cos^4 heta=(sin^2 heta+cos^2 heta)^2-2sin^2 hetacdot cos^2 heta)(=1-cfrac{1}{2}sin^22 heta)(=1-cfrac{1}{2}cdot cfrac{1-cos4 heta}{2})(=cfrac{1}{4}cos4 heta+cfrac{3}{4})

• (sqrt{1-2sin2cos2}=sqrt{sin^22+cos^22-2sin2cos2})(=sqrt{(sin2-cos2)^2})(=|sin2-cos2|)(=sin2-cos2);

• (x+cfrac{1}{x}=t)，则(x^2+cfrac{1}{x^2}=(x+cfrac{1}{x})^2-2=t^2-2)；

• (cfrac{n^2}{m^2}+cfrac{m^2}{n^2}+2=(cfrac{n}{m}+cfrac{m}{n})^2)；(cfrac{n^2}{m^2}+cfrac{m^2}{n^2}-2=(cfrac{n}{m}-cfrac{m}{n})^2)；

典型案例

例1【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第21题第二问求解过程选摘】

(cfrac{8(y_0x_0^3+x_0y_0^3)}{2x_0^4+2y_0^4+5x_0^2y_0^2})(xlongequal[化简]{给分子分母同除以x_0^2y_0^2})

(=cfrac{8(frac{x_0}{y_0}+frac{y_0}{x_0})}{2(frac{x_0}{y_0})^2+2(frac{y_0}{x_0})^2+5})

(=cfrac{8(frac{x_0}{y_0}+frac{y_0}{x_0})}{2[(frac{x_0}{y_0})^2+(frac{y_0}{x_0})^2+2]+1})

(=cfrac{8(frac{x_0}{y_0}+frac{y_0}{x_0})}{2(frac{x_0}{y_0}+frac{y_0}{x_0})^2+1})

令(t=frac{x_0}{y_0}+frac{y_0}{x_0})，则(tgeqslant 2)，

则(S_{ riangle PQG}=cfrac{8t}{2t^2+1}=cfrac{8}{2t+frac{1}{t}})

利用对勾函数(f(t)=2t+cfrac{1}{t})在([2，+infty))上的单调性可知，

(f(t)geqslant 4+cfrac{1}{2}=cfrac{9}{2})(当(t=2)时取到等号)

所以(S_{ riangle PQG}leqslant cfrac{8}{frac{9}{2}}=cfrac{16}{9})

故( riangle PQG)面积的最大值为(cfrac{16}{9}).