直线的倾斜角斜率和直线方程

前言

• 更新时间：2019-08-05

倾斜角斜率

直线的倾斜角的范围( hetain [0，pi))；

直线方程

典例剖析

直线的方向向量

例1与直线(3x+4y+5=0)的方向向量共线的一个单位向量是【】

$A.(3，4)$ $B.(4，-3)$ $C.(cfrac{3}{5}，cfrac{4}{5})$ $D.(cfrac{4}{5}，-cfrac{3}{5})$

• 预备知识：经过两点(P_1(x_1，y_1))、(P_2(x_2，y_2))的直线的方向向量的坐标可以记为((x_2-x_1，y_2-y_1))，当直线的斜率(k)存在时，方向向量的坐标可以记为((1，k))，[即((1，k)=(1，cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}))]；

同理，斜截式直线方程(y=kx+b)的一个方向向量可以取为((1，k))，或((-1，-k))或((2，2k))等；

一般式直线方程(Ax+By+C=0)的一个方向向量可以取为((1，k))，或((1，-cfrac{A}{B}))或((B，-A))或((-B，A))等；

分析：直线(3x+4y+5=0)的一个方向向量可以取为((4，-3))，将其单位化为((cfrac{4}{5}，-cfrac{3}{5}))，故选(D)。

例1-1已知(vec{a}=(6，2))，(vec{b}=(-4，cfrac{1}{2}))，直线(l)经过点(A(3，-1))，且与向量(vec{a}+2vec{b})垂直，则直线(l)的一般方程为____________。

分析：(vec{a}+2vec{b}=(-2，3))，设直线(l)的方向向量为((1，k))，则由直线(l)与向量(vec{a}+2vec{b})垂直，得到(-2+3k=0)，即(k=cfrac{2}{3})，

即直线(l)的斜率为(k=cfrac{2}{3})，又过点(A(3，-1))，则方程为(y+1=cfrac{2}{3}(x-3))，

整理得到一般式方程为(2x-3y-9=0).

直线的旋转和平移

例2将直线(y=3x)绕原点逆时针旋转(90^{circ})，再向右平移(1)个单位，所得到的直线为【】

$A.y=-cfrac{1}{3}x+cfrac{1}{3}$ $B.y=-cfrac{1}{3}x+1$ $C.y=3x-3$ $D.y=cfrac{1}{3}x+1$

分析：将直线(y=3x)绕原点逆时针旋转(90^{circ})，得到(y=-cfrac{1}{3}x)，再用(x-1)替换(x)，整理得到(y=-cfrac{1}{3}x+cfrac{1}{3})，故选(A)；

直线的截距式方程应用

例3与直线(3x+4y+12=0)平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是(24)的直线(l)的方程是____________。

分析：设与直线(3x+4y+12=0)平行的直线系方程为(3x+4y=lambda)，

变形整理为直线的截距式方程为(cfrac{x}{frac{lambda}{3}}+cfrac{y}{frac{lambda}{4}}=1)，则得到三角形的两直角边长为(|cfrac{lambda}{3}|)和(|cfrac{lambda}{4}|)，

由(cfrac{1}{2} imes |cfrac{lambda}{3}| imes |cfrac{lambda}{4}|=24)，解得(lambda=pm 24)，

即所求直线(l)的方程是(3x+4ypm 24=0)。

求直线的倾斜角取值范围，本质是解正切型三角不等式。

直线的倾斜角的范围( hetain [0，pi))；

例4直线(2xcosalpha-y-3=0(alphain [cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{3}]))的倾斜角的变化范围是【】

$A.[cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{3}]$ $B.[cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{3}]$ $C.[cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{2})$ $D.[cfrac{pi}{4}，cfrac{2pi}{3}]$

分析：设直线的倾斜角为( heta)，则(k=tan heta=2cosalpha)，由于(alphain [cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{3}])，则(2cosalphain [1，sqrt{3}])，

即(k=tan hetain [1，sqrt{3}])，故( hetain [cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{3}])，故选(B).

例5直线(xsinalpha-y+1=0)的倾斜角的变化范围是【】

$A.(0，cfrac{pi}{2})$ $B.(0，pi)$ $C.[-cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{4}]$ $D.[0，cfrac{pi}{4}]cup[cfrac{3pi}{4}，pi)$

分析：设直线的倾斜角为( heta)，则(k=tan heta=sinalphain [-1，1])，又由于( hetain [0，pi))，

则( hetain [0，cfrac{pi}{4}]cup[cfrac{3pi}{4}，pi))，故选(D).

例6【2014黄冈模拟】直线(l)经过(A(2，1))、(B(1，m^2)(min R))两点，那么直线(l)的倾斜角的取值范围为【】

$A.[0，pi)$ $B.[0，cfrac{pi}{4}]cup[cfrac{3pi}{4}，pi)$ $C.[0，cfrac{pi}{4}]$ $D.[0，cfrac{pi}{4}]cup(cfrac{pi}{2}，pi)$

分析：由点(A(2，1))、(B(1，m^2))得到，(k=tan heta=cfrac{m^2-1}{1-2}=1-m^2leqslant 1)，故( hetain [0，cfrac{pi}{4}]cup(cfrac{pi}{2}，pi))，故选(D).

高阶例题

例1过点(P(2，1))作直线(l)，分别交(x)轴、(y)轴正半轴于(A)、(B)两点，(O)为坐标原点，

（1）当( riangle AOB)的面积最小时，求直线(l)的方程；

分析：过点(P)的直线(l)与(x)轴、(y)轴正半轴于(A)、(B)两点，

则直线(l)的斜率(k)一定存在且小于零，故设为(y-1=k(x-2))，

则点(A(2-cfrac{1}{k}，0))，(B(0，1-2k))，(k<0)；

则(S_{ riangle AOB}=cfrac{1}{2}|OA|cdot |OB|=cfrac{1}{2}(2-cfrac{1}{k})(1-2k))(=cfrac{1}{2}(4-4k-cfrac{1}{k}))

(=cfrac{1}{2}[4-(4k+cfrac{1}{k})])(=cfrac{1}{2}[4+(-4k)+cfrac{1}{(-k)}])(geqslant cfrac{1}{2}left [4+2sqrt{(-4k)cdot cfrac{1}{(-k)}};; ight ]=4)

当且仅当(-4k=-cfrac{1}{k})，即(k=-cfrac{1}{2})时等号成立，

故所求直线(l)的方程为(x+2y-4=0).

（2）当(|PA|cdot |PB|)取最小值时，求直线(l)的方程；

分析：(|PA|cdot |PB|=sqrt{(2-2+frac{1}{k})^2+(1-0)^2}cdot sqrt{(2-0)^2+(1-1+2k)^2})(=sqrt{(frac{1}{k})^2+1}cdot sqrt{4+4k^2})(=sqrt{frac{4}{k^2}+4k^2+8})(geqslant sqrt{8+2sqrt{4k^2 imes frac{4}{k^2}}}=sqrt{8+8}=4)

当且仅当(cfrac{4}{k^2}=4k^2)，又由于(k<0)，即(k=-1)时取到等号，

故所求直线(l)的方程为(x+y-3=0).

练1过点(P(1，4))作直线(l)，分别交(x)轴、(y)轴正半轴于(A)、(B)两点，(O)为坐标原点，

（1）当(|PA|cdot |PB|)取最小值时，求直线(l)的方程；

提示：仿上例(2)完成，(x+y-5=0)；

（2）当(|OA|+|OB|)最小时，求直线(l)的方程；

分析：过点(P)的直线(l)与(x)轴、(y)轴正半轴于(A)、(B)两点，

则直线(l)的斜率(k)一定存在且小于零，故设为(y-4=k(x-1))，

则点(A(cfrac{k-4}{k}，0))，(B(0，4-k))，(k<0)；

则(|OA|+|OB|=|cfrac{k-4}{k}|+|4-k|=cfrac{k-4}{k}+4-k)(=cfrac{-k^2+5k-4}{k})(=-k-cfrac{4}{k}+5)(=5+[(-k)+(cfrac{4}{-k})])(geqslant 5+2sqrt{(-k) imes frac{4}{-k}}=5+2sqrt{4}=9)

当且仅当(-k=cfrac{4}{-k})，即(k=-2)时取到等号；

故所求直线(l)的方程为(2x+y-6=0).