双连不等式

前言

相关概念

形如(2<2x+1<3)的不等式，我们就称之为双连不等式。

求解双联不等式的的方法一，利用不等式的性质求解，给双连不等式的左、中、右同时减去(1)，得到(1<2x<2)，然后同时除以(2)，得到(cfrac{1}{2}<x<1)；方法二，转化为不等式组求解，如(left{egin{array}{l}{2<2x+1}\{2x+1<3.}end{array} ight.)

典例剖析

例1【整体思想】解不等式(0<cfrac{1+lga}{1-lga}<1)，

法1：原不等式等价于(left{egin{array}{l}{0<cfrac{1+lga}{1-lga}①}\{cfrac{1+lga}{1-lga}<1②}end{array} ight.)

解①(0<cfrac{1+lga}{1-lga})，由穿根法得到(cfrac{1+lga}{lga-1}<0)，故(-1<lga<1)③，

解②(cfrac{1+lga}{1-lga}<1)，变形得到(cfrac{2lga}{lga-1}>0)，由穿根法得到(lga<0)或(lga>1)④，

故由③④求交集得到(-1<lga<0)，解得(ain (cfrac{1}{10}，1))。

法2：看到双连不等式的中间分式部分，若能联想到分式的常用变形，也可以这样求解；

由(0<cfrac{1+lga}{1-lga}<1)，得到(0<cfrac{lga-1+2}{1-lga}<1)，即(0<-1+cfrac{2}{1-lga}<1)，故(1<cfrac{2}{1-lga}<2)，且能得到(1-lga>0)，

故利用倒数法则得到(cfrac{1}{2}<cfrac{1-lga}{2}<1)，即(1<1-lga<2)，即(-2<lga-1<-1)，即(-1<lga<0)，解得解得(ain (cfrac{1}{10}，1))，故选(C).

例2解不等式(x<cfrac{1}{x}<x^2)；

分析：先转化为(left{egin{array}{l}{x<cfrac{1}{x}①}\{cfrac{1}{x}<x^2②}end{array} ight.)，再用穿根法分别求解，

解①(cfrac{x^2-1}{x}<0)得到(x<-1)或(0<x<1)；解②(cfrac{x^3-1}{x}>0)得到(x<0)或(x>1)，

①②求交集得到，解集为((-infty，-1)).

例3【2018江苏南京金陵中学检测】已知当(0leqslant xleqslant 2)时，不等式(-1leqslant tx^2-2xleqslant 1)恒成立，则(t)的取值范围是____________。

分析：当(x=0)时，不等式恒成立，则(tin R);

当(x eq 0)时，得到(cfrac{2x-1}{x^2}leqslant t leqslant cfrac{2x+1}{x^2})在((0,2])上恒成立，

令(f(x)=cfrac{2x-1}{x^2}=-(cfrac{1}{x}-1)^2+1)，最大值为(1)，则有(tgeqslant 1)；

令(g(x)=cfrac{2x+1}{x^2}=(cfrac{1}{x}+1)^2-1)，最小值为(cfrac{5}{4})，则有(tleqslant cfrac{5}{4})；

综上可知，(t)的取值范围为([1，cfrac{5}{4}]);

例4当(tleqslant 1leqslant t+1)时，怎么化简？

分析：转化为(left{egin{array}{l}{tleqslant1}\{t+1geqslant1}end{array} ight.)，从而解得(0leqslant tleqslant 1)

例5求解(2leqslant 2sqrt{3^2-cfrac{|2+a|^2}{2}}leqslant 6)

分析：左中右三部分同时约分，得到(1leqslant sqrt{3^2-cfrac{|2+a|^2}{2}} leqslant 3)，

左中右三部分同时平方，得到(1leqslant 9-cfrac{|2+a|^2}{2}leqslant 9)，

左中右三部分同时同加(-9)，得到(-8=1-9leqslant -cfrac{|2+a|^2}{2}leqslant 9-9=0)，

左中右三部分同时同乘以(-1)，得到(0leqslant cfrac{|2+a|^2}{2}leqslant 8)，

整理为(0leqslant|2+a|^2leqslant 16)，

左中右三部分同时开平方，得到(0leqslant|2+a|leqslant 4)，

即(|a+2|leqslant 4)，即(-4leqslant a+2leqslant 4)，

解得，(-6leqslant aleqslant 2)；