前言
应用举例1
由集合之间的关系求解参数的取值范围模型
分析:自行画出草图可知,先列出条件(egin{cases}&m+1leq-2\&1-2m ge 7end{cases}),解得(mleq -3),
接下来验证(m=-3)是否满足题意。
当(m=-3)时,(A=[-2,7]),(B=[m+1,1-2m]=[-2,7]),此时(A=B),不满足题意,舍去,
故实数(m)的取值范围为({mmid m<-3})。
解后反思:本题目如上处理,则可以避免分类讨论;
【解析】先化简命题(p),由((x-m)^2>3(x-m)),得到(x^2-(2m+3)x+m^2+3m>0),
即(x^2-(2m+3)x+m(m+3)>0),即((x-m)[x-(m+3)]>0),
则有(p:x>m+3)或(x<m;q:-4<x<1);
因为(p)是(q)成立的必要不充分条件,则({xmid-4<x<1}subseteq {xmid x>m+3或x<m}),
所以(m+3≤-4)或(m≥1),即(m≤-7)或(m≥1),
故(m)的取值范围为((-infty,-7]cup[1,+infty))。
法1:集合法,先用导数的方法求得函数(f(x))的单调递减区间,(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)),
令(f'(x)<0),解得(xin (-2,1)),即其单调递减区间为([-2,1]),此处必须写成闭区间,否则会丢掉参数的个别取值。
而题设又已知函数在([a,a+1])上单调递减,故([a,a+1]subseteq [-2,1]),即问题转化为集合的包含关系问题了。
此时只需要满足(left{egin{array}{l}{-2leqslant a}\{a+1leqslant 1}end{array} ight.),解得(-2leqslant aleqslant 0),
故参数(a)的取值范围为([-2,0])。
法2:导数法,由题设可知,(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)),由于函数在区间([a,a+1])上单调递减,
则(f'(x)=3(x+2)(x-1)leq 0)在区间([a,a+1])上恒成立,则(left{egin{array}{l}{f'(a)leqslant 0}\{f'(a+1)leqslant 0}end{array} ight.)
即(left{egin{array}{l}{3(a+2)(a-1)leqslant 0}\{3(a+3)aleqslant 0}end{array} ight.),解得(left{egin{array}{l}{-2leqslant aleqslant 1}\{-3leqslant aleqslant 0}end{array} ight.),则(ain [-2,0])。
应用举例2
分析:先由奇偶性求得(x>0)时,(f(x)=2x+1),
即得到函数的解析式为(f(x)=egin{cases}2x-1&x<0\0&x=0\2x+1&x>0end{cases}),且已知(f(a)=3),求(a)的值,
等价转化为三个不等式组 (egin{cases}a<0\2a-1=3end{cases}),或(egin{cases}a=0\0=3end{cases}),或(egin{cases}a>0\2a+1=3end{cases}),
解得(a=1)。
【法1】:从数的角度求解;令(f(x)=t),则函数的零点问题转化为方程(f(t)=-1)的解的个数问题;
即相当于已知(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1,xleqslant 0}\{lnx,x>0,}end{array} ight.) 且(f(t)=-1),求(t)的值;
则上述分段函数方程等价于(left{egin{array}{l}{tleqslant 0}\{t+1=-1}end{array} ight.) 或(left{egin{array}{l}{t> 0}\{lnt=-1}end{array} ight.)
解得(t=-2)或者(t=cfrac{1}{e}),即(f(x)=-2)或者(f(x)=cfrac{1}{e}),到此题目又可以转化为
已知(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1,xleqslant 0}\{lnx,x>0,}end{array} ight.) 且(f(x)=-2),求(x)的值;可以仿上求解得到(2)个(x)的值;
或已知(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1,xleqslant 0}\{lnx,x>0,}end{array} ight.) 且(f(x)=cfrac{1}{e}),求(x)的值;亦可以仿上求解得到(2)个(x)的值;
故所求的零点的个数为(4)个。
应用举例3
函数模型:(g(x)=e^x+e^{-x}),
则函数(f(x)=e^{x-1}+e^{1-x}=g(x-1)),这样做函数(f(x))的图像,只需要先做(g(x))图像,再做函数(g(x-1))的图像。