[数学模型]应用举例

前言

应用举例1

由集合之间的关系求解参数的取值范围模型

案例01【模型】若集合(B={xmid m+1leq xleq 1-2m })，集合(A={xmid -2leq xleq 7})，若(Asubsetneqq B)，求实数(m)的取值范围。

分析：自行画出草图可知，先列出条件(egin{cases}&m+1leq-2\&1-2m ge 7end{cases})，解得(mleq -3)，

接下来验证(m=-3)是否满足题意。

当(m=-3)时，(A=[-2，7])，(B=[m+1，1-2m]=[-2，7])，此时(A=B)，不满足题意，舍去，

故实数(m)的取值范围为({mmid m<-3})。

解后反思：本题目如上处理，则可以避免分类讨论；

模型应用1已知(“)命题(p：(x-m)^2>3(x-m))(”)是(“)命题(q：x^2+3x-4<0)(”)成立的必要不充分条件,则实数(m)的取值范围为________.　

【解析】先化简命题(p)，由((x-m)^2>3(x-m))，得到(x^2-(2m+3)x+m^2+3m>0)，

即(x^2-(2m+3)x+m(m+3)>0)，即((x-m)[x-(m+3)]>0)，

则有(p：x>m+3)或(x<m；q：-4<x<1)；

因为(p)是(q)成立的必要不充分条件，则({xmid-4<x<1}subseteq {xmid x>m+3或x<m})，

所以(m+3≤-4)或(m≥1)，即(m≤-7)或(m≥1)，

故(m)的取值范围为((-infty，-7]cup[1，+infty))。

模型应用2已知函数(f(x)=x^3+cfrac{3}{2}x^2-6x+1)在区间([a，a+1])上单调递减，求参数(a)的取值范围。

法1：集合法，先用导数的方法求得函数(f(x))的单调递减区间，(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1))，

令(f'(x)<0)，解得(xin (-2，1))，即其单调递减区间为([-2，1])，此处必须写成闭区间，否则会丢掉参数的个别取值。

而题设又已知函数在([a，a+1])上单调递减，故([a，a+1]subseteq [-2，1])，即问题转化为集合的包含关系问题了。

此时只需要满足(left{egin{array}{l}{-2leqslant a}\{a+1leqslant 1}end{array} ight.)，解得(-2leqslant aleqslant 0)，

故参数(a)的取值范围为([-2，0])。

法2：导数法，由题设可知，(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1))，由于函数在区间([a，a+1])上单调递减，

则(f'(x)=3(x+2)(x-1)leq 0)在区间([a，a+1])上恒成立，则(left{egin{array}{l}{f'(a)leqslant 0}\{f'(a+1)leqslant 0}end{array} ight.)

即(left{egin{array}{l}{3(a+2)(a-1)leqslant 0}\{3(a+3)aleqslant 0}end{array} ight.)，解得(left{egin{array}{l}{-2leqslant aleqslant 1}\{-3leqslant aleqslant 0}end{array} ight.)，则(ain [-2，0])。

应用举例2

模型【求解分段函数方程】【2016第三次全国大联考第15题】已知(f(x))是定义在(R)上的奇函数，且当(x<0)时，(f(x)=2x-1)，若(f(a)=3)，求实数(a)的值。

分析：先由奇偶性求得(x>0)时，(f(x)=2x+1)，

即得到函数的解析式为(f(x)=egin{cases}2x-1&x<0\0&x=0\2x+1&x>0end{cases})，且已知(f(a)=3)，求(a)的值，

等价转化为三个不等式组 (egin{cases}a<0\2a-1=3end{cases})，或(egin{cases}a=0\0=3end{cases})，或(egin{cases}a>0\2a+1=3end{cases})，

解得(a=1)。

模型应用1【2020届高三文科数学周末训练2用题】若函数(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1，xleqslant 0}\{lnx，x>0，}end{array} ight.) 则函数(y=f[f(x)]+1)的零点的个数为______ 个。

【法1】：从数的角度求解；令(f(x)=t)，则函数的零点问题转化为方程(f(t)=-1)的解的个数问题；

即相当于已知(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1，xleqslant 0}\{lnx，x>0，}end{array} ight.) 且(f(t)=-1)，求(t)的值；

则上述分段函数方程等价于(left{egin{array}{l}{tleqslant 0}\{t+1=-1}end{array} ight.) 或(left{egin{array}{l}{t> 0}\{lnt=-1}end{array} ight.)

解得(t=-2)或者(t=cfrac{1}{e})，即(f(x)=-2)或者(f(x)=cfrac{1}{e})，到此题目又可以转化为

已知(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1，xleqslant 0}\{lnx，x>0，}end{array} ight.) 且(f(x)=-2)，求(x)的值；可以仿上求解得到(2)个(x)的值；

或已知(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1，xleqslant 0}\{lnx，x>0，}end{array} ight.) 且(f(x)=cfrac{1}{e})，求(x)的值；亦可以仿上求解得到(2)个(x)的值；

故所求的零点的个数为(4)个。

应用举例3

函数模型：(g(x)=e^x+e^{-x})，

则函数(f(x)=e^{x-1}+e^{1-x}=g(x-1))，这样做函数(f(x))的图像，只需要先做(g(x))图像，再做函数(g(x-1))的图像。