三点共线的向量刻画

前言

在数学中，三点共线的给出方式有以下几种： 其中向量的表示形式比较难理解，以下用图形帮助我们理解；

• 向量表示形式：(overrightarrow{OC}=lambdaoverrightarrow{OA}+(1-lambda)overrightarrow{OB}) 或(overrightarrow{AB}=kcdot overrightarrow{AC})

• 距离表示形式：(|AB|+|BC|=|AC|)

• 斜率表示形式:(k_{AB}=k_{AC})

定理内容

【源题】已知(overrightarrow{OC}=lambda overrightarrow{OA}+mu overrightarrow{OB})，其中(lambda+mu=1)，求证：(A、B、C)三点共线；

思路：通过向量共线(如(overrightarrow{AB}=kcdot overrightarrow{AC}))，得三点共线；

证明：如图，由(lambda+mu=1)，得到(mu=1-lambda)，

又由于(overrightarrow{OC}=lambda overrightarrow{OA}+mu overrightarrow{OB})，

即(overrightarrow{OC}=lambda overrightarrow{OA}+(1-lambda)overrightarrow{OB})，

则(overrightarrow{OC}-overrightarrow{OB}=lambda(overrightarrow{OA}-overrightarrow{OB}))

即(overrightarrow{BC}=lambda overrightarrow{BA})，

故(A、B、C)三点共线；

解后反思：

1、此题揭示了证明三点共线的又一个向量方法，点(O)的位置可以任意选择，具有灵活性。

2、其逆命题也成立，即若(A、B、C)三点共线，则存在唯一实数对(lambda)、(mu)，满足(overrightarrow{OC}=lambda overrightarrow{OA}+mu overrightarrow{OB})，且(lambda+mu=1)；

3、(overrightarrow{OC}=lambdaoverrightarrow{OA}+(1-lambda)overrightarrow{OB})是(A、B、C)三点共线的【充要条件】。

4、特例，当(lambda=mu=cfrac{1}{2})时，(overrightarrow{OC}=cfrac{1}{2}(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}))，则点(C)为(overrightarrow{AB})的中点，揭示了( riangle OAB)的中线(OC)的一个向量公式，应用很广泛；

图形解释

为什么必须(k=1)? (overrightarrow{OC}=toverrightarrow{OA}+(k-t)overrightarrow{OB})

图形语言：

如果(k>1)会怎么样呢？比如(k=1.5)；(overrightarrow{OC}=toverrightarrow{OA}+(k-t)overrightarrow{OB})；

如果(k<1)又会怎么样呢？ 比如(k=0.5)；(overrightarrow{OC}=toverrightarrow{OA}+(k-t)overrightarrow{OB})；

• 总结：当(k=1)时，三点共线；当(k eq 1)时，三点不共线，但是点(C)的轨迹会和直线(AB)平行。

引申

当(overrightarrow{OC}=alpha overrightarrow{OA}+eta overrightarrow{OB})，当参数(alpha)和(eta)没有关系时，即意味着，用(overrightarrow{OA})和(overrightarrow{OB})为基向量，可以表示此平面内的所有向量。

定理应用

例1如图，平行四边形(ABCD)中，点(M)是(AB)的中点，点(N)在(BD)上，且(BN=cfrac{1}{3}BD)，利用向量法证明：(M、N、C)三点共线。

分析：选择点(B)，只需要证明(overrightarrow{BN}=lambda overrightarrow{BM}+mu overrightarrow{BC})，且(lambda+mu=1)；

证明：由已知(overrightarrow{BD}=overrightarrow{BA}+overrightarrow{BC})，又点(N)在(BD)上，且(BN=cfrac{1}{3}BD)，

则(overrightarrow{BN}=cfrac{1}{3}overrightarrow{BD}=cfrac{1}{3}(overrightarrow{BA}+overrightarrow{BC})=cfrac{1}{3}overrightarrow{BA}+cfrac{1}{3}overrightarrow{BC})，

又点(M)是(AB)的中点，则(overrightarrow{BA}=2overrightarrow{BM})，

则(overrightarrow{BN}=cfrac{2}{3}overrightarrow{BM}+cfrac{1}{3}overrightarrow{BC})，

而(cfrac{1}{3}+cfrac{2}{3}=1)，故(M、N、C)三点共线。

例2如图，平行四边形(OACB)中，(BD=cfrac{1}{3}BC)，(OD)与(AB)相交于点(E)，求证：(BE=cfrac{1}{4}BA)；

分析：借助向量知识，只须证明(overrightarrow{BE}=cfrac{1}{4}overrightarrow{BA})，而(overrightarrow{BA}=overrightarrow{BO}+overrightarrow{BC})，又(O、D、E)三点共线，存在唯一实数对(lambda)，(mu)，且(lambda+mu=1)，使(overrightarrow{BE}=lambda overrightarrow{BO}+mu overrightarrow{BD})，从而得到(overrightarrow{BE})与(overrightarrow{BA})的关系。

证明：由已知条件，(overrightarrow{BA}=overrightarrow{BO}+overrightarrow{BC})，又(B、E、A)三点共线，可设(overrightarrow{BE}=koverrightarrow{BA})，

则(overrightarrow{BE}=koverrightarrow{BO}+koverrightarrow{BC}①)，

又(O、D、E)三点共线，存在唯一实数对(lambda)，(mu)，且(lambda+mu=1)，使(overrightarrow{BE}=lambda overrightarrow{BO}+mu overrightarrow{BD})，

又(overrightarrow{BD}=cfrac{1}{3}overrightarrow{BC})，

则(overrightarrow{BE}=lambda overrightarrow{BO}+cfrac{1}{3}muoverrightarrow{BC}②)，

根据①②可得，

(left{egin{array}{l}{k=lambda}\{k=cfrac{1}{3}mu}\{lambda+mu=1}end{array} ight.quad) 解得(left{egin{array}{l}{k=frac{1}{4}}\{lambda=frac{1}{4}}\{mu=frac{3}{4}}end{array} ight.)

故(overrightarrow{BE}=cfrac{1}{4}overrightarrow{BA})，即(BE=cfrac{1}{4}BA)；

解后反思：借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质和同一法解决问题，巧妙、简洁。