超越不等式解法思路

前言

超越不等式

如果不等式的两边至少有一个是超越函数，则称这个不等式为超越不等式。如(2^x>x-1)，包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等。

备注：代数函数^[1]；超越函数^[2]；代数不等式^[3]；

求解思路

例1[思路1：换元法]求解关于(x)的不等式((2^x)-3cdot 2^x+2<0)；

分析：换元法，令(2^x=t>0)，则原超越不等式可以等价转化为代数不等式，不过是带有条件的，比如(t>0);

转化为(t^2-3t+2<0(t>0))，用求解代数不等式的相应方法求解，

解得(1<t<2)，即(1<2^x<2)，解得(0<x<1)，

故所求的解集为((0，1))。

例2[思路2：数形结合法]求解关于(x)的不等式 (2^xgeqslant 3-x)

分析：不能使用代数不等式的求解方法，故想到数形结合的思路，

在同一个坐标系中做出两个函数(y=2^x)和(y=3-x)的图像，其交点往往比较特殊；

由图像可知，不等式的解集为([1，+infty))。

引申：上述例子中的图像交点往往比较特殊，如果变为一般的情形呢？

例3[思路3：数形结合+二分法]求解关于(x)的不等式(2^xgeqslant 4-x)

分析：绝大多数的题目的交点坐标往往比较特殊，我们都可以轻松解决；但不是所有题目都这样，比如本题目；

此时我们还是有办法的，就是用到零点存在性定理和二分法，

令函数(f(x)=2^x+x-4)，则(f(1)=-1<0)，(f(2)=2>0)，故函数的零点(x_0)一定满足(x_0in (1，2))，能不能将有解区间再压缩呢？

用二分法，求解(f(1.5)=2^{1.5}+1.5-4approx 0.3>0)，故有解区间压缩为((1，1.5))之间，

如果还嫌不够，继续求解(f(1.25)=2^{1.25}+1.25-4approx -0.45<0)，

(2^{1.25}=2^{frac{5}{4}}=2cdot 2^{frac{1}{4}}=2cdot sqrt{sqrt{2}}=2cdot sqrt{1.414}=approx 2 imes 1.15approx 2.3)；

故有解区间压缩为((1.25，1.5))，假设此时我们觉得可以满足要求了，那就可以停止二分法的操作，可以取值为(x_0=1.3)或者(x_0=1.4)，

我们不妨就确定为(x_0=1.3)，则此不等式的解集为([1.3，+infty))；

例4已知不等式(lnxleqslant kx)的解集为((0，+infty))，求参数(k)的取值范围；

法1：【分离参数法】由于两个函数(y=lnx)和函数(y=kx)的公共定义域为((0,+infty))，

故题目可以转化为(kgeqslant cfrac{lnx}{x})在((0，+infty))上恒成立，

故需要求函数(g(x)=cfrac{lnx}{x})的最大值，

用常规的导数方法可以求得(g(x)_{max}=cfrac{1}{e})，

故(kgeqslant cfrac{1}{e})；即参数(k)的取值范围([cfrac{1}{e}，+infty))；

法2：【数形结合+切线法】设函数(y=kx)与函数(y=lnx)切点为(Q(x_0，y_0))，则有

(egin{cases} y_0=kx_0 \ y_0=lnx_0 \ k=f'(x_0)=cfrac{1}{x_0}end{cases})；

从而解得(x_0=e,y_0=1,k=cfrac{1}{e})，故切点(Q)的坐标为((e，1))

故直线(y=kx)和曲线(y=lnx)相切时的斜率(k=cfrac{1}{e})，

故参数(k)的取值范围([cfrac{1}{e}，+infty))；

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1. 代数函数
   变量之间的关系是用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如(y=x^3+2x^2)(-x+1)，(y=sqrt{x-3})等； ↩︎

2. 超越函数
   是指变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如对数函数(y=log_2^x)，反三角函数如(y=arcsinx)，指数函数如(y=2^x)，三角函数如(y=sinx)等就属于超越函数，它们属于初等函数中的初等超越函数。对数和指数函数即为超越函数的例子。 ↩︎

3. 代数不等式
   不等式两边的函数，如果都是代数函数，则称这个不等式为代数不等式，如(cfrac{2}{x-1}>2x+1)；可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式； ↩︎