定义域值域习题

前言

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• 1、求函数的定义域；

• 2、求函数的值域；

典例剖析

例1【2019贵阳检测】下列函数中，同一个函数的定义域和值域相同的函数是【】

$A.y=sqrt{x-1}$ $B.y=lnx$ $C.y=cfrac{1}{3^x-1}$ $D.y=cfrac{x+1}{x-1}$

分析：对于选项(A)，函数(y=sqrt{x-1})，由(x-1geqslant 0)得到定义域为([1,+infty))，类比函数(y=sqrt{x})，可知其值域为([0,+infty))；故不选(A);

对于选项(B)，函数(y=lnx)，定义域为((0,+infty))，值域为(R)；故不选(B);

对于选项(C)，函数(y=cfrac{1}{3^x-1})，由(3^x-1 eq 0)得到(3^x eq 1=3^0)，故定义域为((-infty,0)cup (0,+infty))，求解值域时可以这样作，令(3^x-1=t)，则可知(t>-1)，故原函数的值域等价于求(y=cfrac{1}{t}(t>-1))的值域，可知其值域为((-infty，-1)cup (0,+infty))；故不选(C);

对于选项(D)，函数(y=y=cfrac{x+1}{x-1})，由(x-1geqslant 0)得到定义域为((-infty，1)cup (1,+infty))，又(y=cfrac{x+1}{x-1}=1+cfrac{2}{x-1})，由于(cfrac{2}{x-1} eq 0)，故(y eq 1)，可知其值域为((-infty，1)cup (1,+infty))，故选(D);

例2【已知定义域或值域为(R)求参数的取值范围】已知函数(f(x)=ln(x^2+2ax-a))，

①如果函数的定义域是(R)，求参数(a)的取值范围；

预备：先想一想，这个函数的定义域应该怎么求解？

分析：由于函数的定义域是(R)，说明对任意的(xin R)，都能使得(g(x)=x^2+2ax-a>0)，

转化为二次函数恒成立问题了，(此时至少可以考虑数形结合或者恒成立分离参数)

这里用数形结合，函数(g(x))开口向上，和(x)轴没有交点，则(Delta <0)，

即(Delta=(2a)^2-4 imes 1 imes(-a)<0)，解得(ain (-1，0))。

②如果函数的值域是(R)，求参数(a)的取值范围；

分析：如右图所示，要使得函数(f(x))的值域是(R)，说明内函数(g(x)=x^2+2ax-a)必须要能取遍所有的正数，结合下图，

如果有一部分正实数不能取到，那么函数(f(x))的值域就不会是(R)，这样只能是函数(g(x))的(Delta ge 0)，

而不能是(Delta <0)，注意现在题目要求是值域为(R)，而不是定义域为(R)，

因此必须满足条件(Delta=(2a)^2-4 imes 1 imes(-a)ge 0)，解得(ain {amid aleq -1 ，age 0})。

下图是参数(ain [-3，3])时的两个函数图像的动态变化情况；

下图是参数(ain (-1，0))时的两个函数图像的动态变化情况；

例3【已知定义域或值域为(R)求参数的取值范围】【2018浙江名校协作体考试】函数(y=sqrt{2ax^2+4x+a-1})的值域为([0，+infty))，则(a)的取值范围是____________。

分析：令(u=2ax^2+4x+a-1)，则(u)是(x)的仿二次函数，

①当(a=0)时，(u=4x)，则当(xgeqslant 0)时，(ugeqslant 0)，故值域为([0，+infty))，满足题意。

②当(a>0)时，需要(Delta geqslant 0)才能满足值域为([0，+infty))，此时容易错想为(Delta leqslant 0)；

故由(left{egin{array}{l}{a>0}\{Delta=16-4 imes2a(a-1)}geqslant 0end{array} ight.) 解得(0<aleqslant 2)，

综上可知，(ain [0，2]).

例4【2019衡阳四中月考】若函数(y=sqrt{a-a^x}(a>0，a eq 1))的定义域和值域都是([0,1])，则(log_afrac{5}{6}+log_afrac{48}{5})=_______

分析：由题意可得，(a-a^xgeqslant 0)，又定义域是([0,1])，可得(a>1)，

则(y=sqrt{a-a^x})在定义域([0,1])上单调递减，又由于值域是([0,1])，则(f(0)=sqrt{a-1}=1)，(f(1)=0)，

所以得到(a=2)，代入(log_afrac{5}{6}+log_afrac{48}{5}=log_28=3).