破解函数性质中的表达难点

前言

对数学本质的理解和三种数学语言(自然语言，符号语言，图形语言)的相互转化，始终是学生学习道路上的拦路虎。

• 阅读建议：要看懂这篇博文，请您最好先看看函数的各种性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等)的给出方式，同时请阅读函数性质的综合应用 难

变形之难

比如我们知道函数(f(x))是定义在(R)上的周期函数(非常函数)，其满足(f(x+4)=f(x))，则可知其最小正周期(T=4)，所以我们就只有见到(f(x+4)=f(x))，才能知道(T=4)，即使见到(f(x+3)=f(x-1))，也不知道其周期(T=4)；这主要源于我们对数学概念的理解太肤浅。

解释：对周期函数而言，满足条件(f(x+4)=f(x))，即意味着对所有的(xin D)都满足，既然这样，我们就可以给其(x)大胆赋值，比如(f(1+4)=f(1))，(f(2+4)=f(2))，(cdots)，

我们自然也可以给(x)赋值(x-1)，则得到(f(x+3)=f(x-1))，自然还可以得到(f(x+2)=f(x-2))，(f(x+5)=f(x+1))，等等如此，其实上述的这些外形不一的数学符号语言其本质是一样的，是等价的。

练习1由(f(4-x)=f(x))能变形得到(f(2-x)=f(2+x))吗？可以；

练习2由(f(2-x)+f(x)=2)能变形得到(f(1-x)+f(1+x)=2)吗？可以；

转化之难

• 由符号语言到自然语言的转化，大多学生能理解和掌握，体现了对数学本质的理解；

$hspace{4em}符号语言$

$hspace{2em}自然语言$

周期性的刻画：

$①f(x+4)=f(x)或f(x+2)=f(x-2)Longrightarrow$

$最小正周期T=4$

$②f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=cfrac{k}{f(x)}Longrightarrow$

$最小正周期T=2a(a>0，k eq 0)$

奇偶性的刻画：

$③f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0Longrightarrow$

$f(x)是奇函数$

$④f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0Longrightarrow$

$f(x)是偶函数$

对称性的刻画：

$⑤f(4-x)=f(x)或f(4-x)-f(x)=0Longrightarrow$

$f(x)关于直线x=2对称$

$⑥f(-x)+f(x)=2或f(-x)=2-f(x)Longrightarrow$

$f(x)关于点(0，1)对称$

应用之难

• 由自然语言到符号语言的转化，对学生的数学素养提出了更高的要求，体现了数学的应用意识。

$hspace{4em}自然语言$

$hspace{2em}符号语言$

周期性的应用：

$①f(x)的最小正周期T=4Longrightarrow$

$f(x+4)=f(x)或f(x+3)=f(x-1)$

奇偶性的应用：

$②f(x)是奇函数Longrightarrow$

$f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0$

$③f(x)是偶函数Longrightarrow$

$f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0$

对称性的应用：

$④f(x)关于直线x=2对称Longrightarrow$

$f(4-x)=f(x)或f(3+x)=f(1-x)$

$⑤f(x)关于点(2，1)对称Longrightarrow$

$f(4-x)+f(x)=2或f(3+x)+f(1-x)=2$

思维之难

• 当我们能非常自如的游走在自然语言到符号语言的转化长河中时，此时我们就仅仅剩余一个难点，就是拓宽思维的难点了；如何理解这句话呢？比如题目给定了奇偶性和周期性，没有明确给定对称性，其实就是想考察你的数学创新意识如何，看你能不能依托这两个性质推出对称性，举例如下：

思维盲点：函数的奇偶性、对称性、周期性三个性质，只要知道其中两个，就能推导出第三个，而第三个常常在解题中是必不可少的，故需要我们打通思维中的盲点，熟练掌握以下的变形和数学思想方法：

• 对称性+奇偶性(Longrightarrow)周期性的变形例子

如，已知函数(f(x))是奇函数，且满足(f(2-x)=f(x))，

则由(egin{align*} f(2-x)&=f(x) \ - f(-x)&= f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)Longrightarrow f(2+x)=- f(x)Longrightarrow)周期(T=4)

• 奇偶性+周期性(Longrightarrow)对称性的变形例子
  

如，已知函数(f(x))是奇函数，且满足(f(x+4)=-f(x))，

则由(egin{align*} f(x+4)&=-f(x) \ f(-x)&=-f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(x+4)=f(-x)Longrightarrow)对称轴是(x=2)

• 对称性+周期性(Longrightarrow)奇偶性的变形例子
  

如，已知函数(f(x))的周期是(2)，且满足(f(2+x)=f(-x))，

则由(egin{align*} f(2+x) &=f(-x) \ f(2+x) &= f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(-x)= f(x)Longrightarrow)函数(f(x))是偶函数。

• 以轴对称和中心对称结合形式给出周期性；

引例，已知函数(f(x))的图像关于点((3,0))对称，且满足(f(2-x)=f(x))，则可知函数的周期(T=8)；

分析：由函数(f(x))的图像关于点((3,0))对称，即有(f(x)+f(6-x)=0)，

则由(egin{align*} f(x)&=f(2-x) \ f(x)&=-f(6-x)end{align*}Bigg})(Longrightarrow f(2-x)=-f(6-x))

(Longrightarrow f(2-x)=-f[4+(2-x)]Longrightarrow f(x)=-f(4+x)Longrightarrow)周期(T=8)

小试牛刀

例1【2017年宝鸡市二检】【函数性质逐条给出】已知定义在(R)上的函数(y=f(x))满足以下条件：

①对任意的(xin R)，都有(f(x+2)=f(x-2))；②函数(y=f(x+2))是偶函数；

③当(xin(0，2])时，(f(x)=e^x-cfrac{1}{x})，若已知(a=f(-5))，(b=f(cfrac{19}{2}))，(c=f(cfrac{41}{4}))，

则(a)，(b)，(c)的大小关系是【 】

$A.b < a < c$ $B.c < a < b$ $C.c < b < a$ $D.a < b < c$

分析：本题目是函数各种性质综合应用的典型题目，如果你对函数的各种性质的给出方式很熟悉，

那么由①可知，函数满足(f(x+4)=f(x))，其周期是(4)；

由②可知(y=f(x))的对称轴是(x=2)，可以表达为(f(x+4)=f(-x))，

那么在结合(f(x+4)=f(x))，可知(f(-x)=f(x))，则函数(f(x))还是偶函数；

由③借助导数工具(或者增+增=增)可得，函数(f(x))在区间((0，2])上单调递增，

有了以上分析得到的函数的周期性、奇偶性、单调性，就可以轻松的解决题目中的大小比较了。

(a=f(-5)xlongequal{周期性}f(-1)xlongequal{奇偶性}f(1))；

(b=f(cfrac{19}{2})xlongequal{周期性}f(cfrac{3}{2})=f(1.5))；

(c=f(cfrac{41}{4})xlongequal{周期性}f(2+cfrac{1}{4})xlongequal{已知表达式}f(cfrac{1}{4}-2)xlongequal{偶函数}f(2-cfrac{1}{4})=f(1.75))；

或(c=f(cfrac{41}{4})=f(2+cfrac{1}{4})=f(2+cfrac{1}{4}-4)=f(-cfrac{7}{4})=f(cfrac{7}{4})=f(1.75))

由(ecause f(x))在区间((0，2])上( earrow)，(1<1.5<1.75)， ( herefore f(1)<f(1.5)<f(1.75))，

即(a<b<c)，故选(D)。