转化为不等式能成立命题

前言

恒成立和能成立命题是高中数学中一个非常重要的知识点，考查频次很高，由于借助这个命题能很好的考查学生的知识理解掌握能力，还能考查学生遇到新问题时的转化化归能力，考查学生思维的灵活性，所以是高考命题人的最爱之一，需要引起学生的广泛关注。而且其涵盖的数学素材很广，一定要认真学习和掌握。

能成立模型

(Aleq f(x))在区间([m，n])上能成立[或有解]，等价于(Aleq f(x)_{max})；
(Age f(x))在区间([m，n])上能成立[或有解]，等价于(Age f(x)_{min})；

说明：同上，碰到具体题目可能需要我们进行相应的转化化归，才会变形为上述的形式。

化归为能成立

• ⒈存在性命题常常可以转化为能成立命题；

例1存在实数(x)使得(x^2+6mx+9m<0)成立，求(m)的取值范围。

分析：即二次不等式(x^2+6mx+9m<0)有解，

即(Delta=36m^2-36m>0)，解得(m<0)或者(m>1)；

即(min (-infty，0)cup(1，+infty))。

• ⒉以方程有解的形式给出的，或者给出了方程的解的范围的，又或者以方程成立的形式给出的都可以考虑转化为能成立命题；

例2函数(f(x)=lnx+a)，若方程(f'(x)=f(x))的根(x_0 <1)，求实数(a)的取值范围。

分析：方程即(cfrac{1}{x}=lnx+a)，转化为方程(a=cfrac{1}{x}-lnx)，(0< x <1)时有解，令(h(x)=cfrac{1}{x}-lnx，0< x <1)，

用导数求得其单调性，在((0，1))单调递减，值域为((1，+infty))，故实数(a)的取值范围为((1，+infty))。

• ⒊或方程解集、不等式解集不是空集；

例3不等式(x^2 +ax-2ge 0)在区间([1,5])上有解，或不等式(x^2 +ax-2ge 0)在区间([1,5])上解集不是空集，

分析：具体解法，见下。

• ⒋函数有零点，或两个函数图像有交点

例4方程(lnx=ax)在((0,+infty))有解，即函数(y=lnx)和函数(y=ax)图像在((0,+infty))上有交点，利用数形结合求解；

例5函数(f(x)=lnx-ax)在((0,+infty))有零点，即函数(y=lnx)和函数(y=ax)图像在((0,+infty))上有交点，利用数形结合求解；

• 5.函数存在单调区间

例1【2019石家庄质检】【综合题目】已知函数(f(x)=lnx)，(g(x)=cfrac{1}{2}ax^2+2x(a eq 0))，

①若函数(h(x)=f(x)-g(x))存在单调递减区间，求(a)的取值范围；

分析：(h(x)=lnx-cfrac{1}{2}ax^2-2x)，(xin (0,+infty))

所以(h'(x)=cfrac{1}{x}-ax-2)，由于(h(x))在((0,+infty))上存在单调递减区间，

所以当(xin (0,+infty))时，(cfrac{1}{x}-ax-2<0)有解，[注意：转化为(h'(x)leqslant 0)是错误的]

即(a>cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x})有解，设(G(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x})，

所以只要(a>G(x)_{min})即可。

而(G(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x}=(cfrac{1}{x}-1)^2-1)，则(G(x)_{min}=-1)，

所以(a>-1)，又由于(a eq 0)，

故(a)的取值范围为((-1,0)cup(0,+infty))。

• ⒍ 以能成立形式给出；

例7已知函数(f(x)=x^2 +ax-2≥0)在区间 ([1,5])上能成立，求参数(a)的取值范围。

分析：分离参数得到，(a≥cfrac{2}{x}－x)在区间([1,5])上能成立, 转化为求新函数(cfrac{2}{x}－x)在([1,5])上的最小值。

令(g(x)=cfrac{2}{x}－x，g(x)=cfrac{2}{x}－x)在区间 ([1,5])上单调递减，

所以(g(x)_{min}=g(5)=-cfrac{23}{5},)所以(a≥-cfrac{23}{5})即(a)的取值范围是([-cfrac{23}{5}，+infty))

• ⒏以不是单调函数形式给出；或函数在某区间上不单调给出；

例8若函数(f(x)=x+alnx)不是单调函数，则实数(a)的取值范围是 【 】

$A.[0，+infty)$ $B.(-infty，0]$ $C.(-infty，0)$ $D.(0，+infty)$

分析：由题意知(x>0)，又(f′(x)=1+cfrac{a}{x})，

要使函数(f(x)=x+alnx)不是单调函数，

则需方程(f'(x)=1+cfrac{a}{x}=0)在(x>0)上有解，

即方程(a=-x)在(x>0)上有解，

又函数(g(x)=-x)在(x>0)上的值域是((-infty，0))，故(ain(-infty，0))。

例9函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-x^2+ax-5)在区间([-1，2])上不单调，则实数(a)的取值范围是_________。 ((-3，1))

法1：补集思想，(f'(x)=x^2-2x+a)，

若函数(f(x))在([-1，2])上单增，则(f'(x)=x^2-2x+age 0)恒成立，

分离参数得到(age -x^2+2x)恒成立，在([-1，2])上求得函数(f(x)_{max}=1)，故(age 1)；

若函数(f(x))在([-1，2])上单减，则(f'(x)=x^2-2x+aleq 0)恒成立，

分离参数得到(aleq -x^2+2x)恒成立，在([-1，2])上求得函数(f(x)_{min}=-3)，故(aleq -3)；

故取其补集，当(-3< a <1)时，函数(f(x))在区间([-1，2])上不单调。

法2：由题可知(f(x))不单调，则导函数(y=f'(x))在区间([-1，2])上至少有一个变号零点，

当只有一个变号零点时，由(f'(-1)cdot f'(2)< 0)可得，(-3< a< 0)；

当有两个变号零点时，由(egin{cases}f'(-1)>0\f'(2)>0\ Delta >0end{cases})，解得(0< a <1)；

再验证，当(a=0)时，也满足题意，

综上所述，实数(a)的取值范围是((-3，1))。

• ⒐以函数(f(x))存在单调区间的形式给出；

例10【2019高三理科数学资料用题】【2018荆州模拟改编】设函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-cfrac{a}{2}x^2+1)，函数(g(x)=f(x)+2x)，且(g(x))在区间((-2，-1))内存在单调递减区间，求实数(a)的取值范围；

分析：(g(x)=cfrac{1}{3}x^3-cfrac{a}{2}x^2+1+2x)，则(g'(x)=x^2-ax+2)，

由(g(x))在区间((-2，-1))内存在单调递减区间，得到，

(g'(x)=x^2-ax+2<0)在区间((-2，-1))上能成立，

分离参数得到，(a < x+cfrac{2}{x})在区间((-2，-1))上能成立，

而(left(x+cfrac{2}{x} ight)_{max}=-2sqrt{2})，当且仅当(x=cfrac{2}{x})，即(x=-sqrt{2})时取到等号，

故实数(a)的取值范围为((-infty，-2sqrt{2}))。

注意：存在单调递减区间，应该得到(f'(x)<0)能成立，而不是(f'(x)leq 0)能成立。

若(a=-2sqrt{2})，由(g'(x)=x^2+2sqrt{2}x+2=(x+sqrt{2})^2ge 0)恒成立，

则函数(g(x))只能有单调递增区间，不会存在单调递减区间。

• ⒑以存在性命题形式给出；

例11(exists x_0in [1，5])，使得不等式(x^2 +ax-2ge 0)成立。

分析：具体解法，见上。

• ⒒ 以至多至少型命题形式给出；

例12不等式(x^2 +ax-2ge 0)在区间 [1,5]上至少有一个解。

分析：具体解法，见上。

• ⒓ 以新定义的形式给出；

例13定义：如果在(y=f(x))定义域内的给定区间([a,b])上存在(x_0(a<x_0<b))，满足(f(x_0)=cfrac{f(b)-f(a)}{b-a})，则称函数(y=f(x))是([a,b])上的“平均值函数”，(x_0)是它的一个均值点，如(y=x^4)是([-1,1])上的平均值函数，(0)是它的均值点，现有函数(f(x)=-x^2+mx+1)是([-1,1])上的平均值函数，则实数(m)的取值范围是________________。

分析：由题意可知，存在(x_0in (-1,1))，使得(f(x_0)=cfrac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)})，

化简得到，(f(x_0)=m)有解，即(-x_0^2+mx_0+1=m)，

即((x_0-1)m=x_0^2-1)，由于(x_0-1 eq 0)，故转化为(m=x_0+1)在(x_0in(-1,1))上有解，

即需要求函数(y=x_0+1)的值域，而(x_0+1in (0,2))，故(min (0,2)).

转化以后

• 先考虑能否分离参数，参见分离参数法；

如果能，转化为(Age f(x))恒成立，则需要求函数(f(x))的最值，函数如果形式简单，不用导数法，如果复杂，需要用导数法；如果不能，

• 再考虑数形结合，即左右两端的函数中，有一个带有参数，考虑其几何意义。

注意事项

1、有恒字的不一定是恒成立命题，如两个函数图像恒有交点，即两个函数图像至少有一个交点，其实是能成立命题。没有恒字的不一定不是恒成立命题。

2、不等式无解应该等价转化为不等式恒成立。比如，(f(x)< x)在(R)上无解，即意味着不等式(f(x)< x)的解集为(xin varnothing)，那么不等式(f(x)ge x)在(R)上应该是恒成立的，即不等式(f(x)ge x)的解集为(xin R)，

引例，比如不等式(e^x< x)无解，即不等式(e^xge x)的解集为(xin R)，即(xin R)时，不等式(e^x > x)恒成立。

3、注意细节上的变化

若(Aleq f(x))在区间((m，n))上恒成立，等价于(Aleq f(x)_{min})或最小值的极限。

若(A< f(x))在区间((m，n))上恒成立，等价于(Aleq f(x)_{min})或最小值的极限。