极值与最值概念

前言

极值与最值是很不容易弄清楚的两个概念。

相关概念

• 极值是在函数的定义域内的某一个自变量的取值(x_0)的小邻域[定义域的某个小区间]内，(f(x_0))和这个小邻域内其他的函数值相比较，他是龙头老大(或老小)；最值是函数在自己的定义域内的来说，是龙头老大(或老小)，故极值不会在某个区间的端点处取到，而最值有可能在区间的端点处取到。

• 说到极值和最值，都是针对函数值(y)而言；说到极值点或者最值点，都是针对函数的自变量(x)而言；且极值点和最值点都不是点，而是实数。

• 函数的极大值和极小值之间没有必然联系，即极大值不一定比极小值大；

• 对于可导函数(f(x))而言，(x_0)成为函数(f(x))的极值点的必要条件是(f'(x_0)=0)，其充要条件是(f'(x_0)=0)且导函数(f'(x))在(x_0)的两侧的函数值异号，简单的说，其充要条件是(x_0)是导函数(f'(x))的变号零点。

• 函数在极值点处不一定可导，比如函数(f(x)=|x|)，(x=0)是其极值点，但函数在(x=0)处不可导。

• 函数的最大值不一定是极大值，也可能是端点值；函数的最小值不一定是极小值，也可能是端点值；

充要条件

例1在某个区间内，对可导函数(f(x))而言，(f'(x)>0(f'(x)<0))是函数(f(x))在这个区间单调递增(减)的充分不必要条件。

分析：说明不必要性，比如函数(y=x^3)在((-infty,+infty))上单调递增，但是却有(f'(x)ge 0)，故必要性不成立。

例2在某个区间内，对可导函数(f(x))而言，(f'(x)ge 0(f'(x)leq 0))是函数(f(x))在这个区间单调递增(减)的必要不充分条件。

比如常函数(f(x)=c(c为常数))，满足(f'(x)ge0)，但是没有单调性，故充分性不成立；

若函数(f(x))单调递增，则必有(f'(x)ge 0)，故必要性成立。

例3在某个区间内，对可导函数(f(x))而言，“(f'(x)ge 0(f'(x)leq 0))且在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零”是函数(f(x))在这个区间单调递增(减)的充要条件。

说明：①在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零，就排除了函数为常函数的可能；②已知函数的单调性[如单调递增]求参数的取值范围类问题中，如果我们令(f'(x)>0)恒成立，则会漏掉参数的取值，若令(f'(x)geqslant 0)恒成立，则会多出参数的取值，所以最后求得参数的取值范围后常常需要验证等号的情形，以防止为常函数。

例4命题(p)为真命题，(f(x)=cfrac{1-2m}{x})在区间((0，+infty))上单调递减，求(m)的取值范围是________。

分析：图像法，由题目可知，若(p)为真，则(1-2m>0)，解得(m<cfrac{1}{2})(依托(y=cfrac{1}{x})的单调性)；

导数法：由(f(x)=cfrac{1-2m}{x})在区间((0，+infty))上单调递减，则有

(f'(x)=-(1-2m)cfrac{1}{x^2}leq 0)在区间((0，+infty))上恒成立，

即(2m-1leq 0)，即(mleq cfrac{1}{2})，这个结果是错误的，

原因是缺少验证，当(m=cfrac{1}{2})时， 函数(f(x)=0)为常函数，

不符合题意，故舍去，即(m<cfrac{1}{2})。

解后反思：本题目利用函数(f(x))的单调性求参数的取值范围时，既可以利用单调性的性质，也可以利用导数法，但是导数法很容易出错。

例5在某个区间内，对函数(f(x))而言，(f'(x_0)=0)是(x_0)为极值点的既不充分也不必要条件。

分析：比如函数(f(x)=x^3)，在(R)上单调递增，无极值点，而(f'(x)=3x^2)，(f'(0)=0)，

但是很遗憾(x=0)不是极值点，应该是驻点和拐点，故充分性不成立；

若(x_0)为函数的极值点，也不能推出(f'(x_0)=0)，因为函数的极值点有可能就不可导，

比如函数(f(x)=|x|)，(x=0)是其极值点，但是函数在这一点(尖角点)并不可导。

例6在某个区间内，对可导函数(f(x))而言，(f'(x_0)=0)是(x_0)为极值点的必要不充分条件。

说明：此时由于函数是可导函数，就排除了函数在(x_0)处不可导的情形，

故(x_0)为函数的极值点，能推出(f'(x_0)=0)，必要性成立。

例2(2017郑州模拟)已知函数(f(x)=x^3+ax^2+bx-a^2-7a)在(x=1)处取得极大值(10)，则(cfrac{a}{b})的值为____________.

分析：(f'(x)=3x^2+2ax+b)，由(egin{cases}f'(1)=0\f(1)=10end{cases})，

得到(egin{cases}3+2a+b=0\1+a+b-a^2-7a=10end{cases})，

解得(egin{cases}a=-2\b=1end{cases})，或(egin{cases}a=-6\b=9end{cases})，

当(a=-2，b=1)时，(f'(x)=(3x-1)(x-1))，

此时(x=1)是导函数(f'(x))的变号零点，但是在(x=1)处取到极小值，不符舍去；

当(a=-6，b=9)时，(f'(x)=3(x-1)(x-3))，

此时(x=1)是导函数(f'(x))的变号零点，且在(x=1)处能取到极大值。

故(cfrac{a}{b}=-cfrac{2}{3})。

反思总结：由方程组解出来的根(x=x_0)，只能说明这一点的函数值是0，并不能说明这一点(x_0)处的左右的函数值的正负，有可能是不变号零点，那么这一点不会成为极值点，也有可能是变号零点，但是左右的正负值不符合。