[构造函数]中的切入点

前言

相关链接

1、破解构造函数问题；

2、构造函数习题1；

3、构造函数习题2；

简单层次

• 从所求解的不等式入手，无需变形，直接用(“左-右”)的形式作差构造得到新函数；

例1【2017•张家界模拟改编】已知函数(f(x)(xin R))满足(f(1)=1)，且(f(x))的导数(f′(x)<cfrac{1}{2})，则不等式(f(x)<)(cfrac{x}{2})(+cfrac{1}{2})的解集为________.　

分析：作差构造函数，设(F(x)=f(x)-cfrac{1}{2}x-cfrac{1}{2})，则(F′(x)=f′(x)-cfrac{1}{2})，

因为(f′(x)<cfrac{1}{2})，所以(F′(x)=f′(x)-cfrac{1}{2}<0)，即函数(F(x))在(R)上为减函数，

这样原不等式(f(x)<cfrac{x}{2}+cfrac{1}{2})，就等价转化为(F(x)<0)，

又由于(F(1)=f(1)-cfrac{1}{2}-cfrac{1}{2}=0)，[这一步完成了常数的函数化]

故(F(x)<0)可等价转化为(F(x)<F(1))，由于在(R)上为减函数，

故得到(x>1)，即(xin (1，+infty))。

解后反思：①题目中给定的定义域是在求解不等式时限制自变量整体用的；②给定的(f(1)=1)是为了完成常数的函数化准备的；③题目中给定的(f′(x)<cfrac{1}{2})是为了求导判断新函数的单调性准备的；④构造出新函数后，我们需要将原不等式转化为依托于新函数的不等式，若里面包含常数，则将常数函数化为形如(f(M)<(leqslant ，geqslant )f(N))的形式；⑤要去掉对应法则(f)，则需要考虑定义域和单调性；

例2[对照]【2017•张家界模拟】已知函数(f(x)(xin R))满足(f(1)=1)，且(f(x))的导数(f′(x)<cfrac{1}{2})，则不等式(f(x^2))(<cfrac{x^2}{2})(+cfrac{1}{2})的解集为________.　

分析：作差构造函数，设(F(x)=f(x)-cfrac{1}{2}x-cfrac{1}{2})，则(F′(x)=f′(x)-cfrac{1}{2})，

因为(f′(x)<cfrac{1}{2})，所以(F′(x)=f′(x)-cfrac{1}{2}<0)，即函数(F(x))在(R)上为减函数，

这样原不等式(f(x^2)<cfrac{x^2}{2}+cfrac{1}{2})，就等价转化为(F(x^2)<0)，

又由于(F(1)=f(1)-cfrac{1}{2}-cfrac{1}{2}=0)，[这一步完成了常数的函数化]

故(F(x^2)<0)可等价转化为(F(x^2)<F(1))，由于在(R)上为减函数，

故得到(x^2>1)，解得(x<-1)或(x>1)，即(xin(-infty，-1)cup(1，+infty))，

解后反思：很显然，(xLeftrightarrow x^2)

练1【对照模拟】已知函数(f(x)(xin R))满足(f(1)=1)，且(f(x))的导数(f′(x)<cfrac{1}{2})，则不等式(f(|lnx|))(<cfrac{|lnx|}{2})(+cfrac{1}{2})的解集为________.　

分析：很显然，(|lnx|Leftrightarrow x)，故(|lnx|>1)，

解得(0<x<cfrac{1}{e})或(x>e)；即((0,cfrac{1}{e})cup(e,+infty))；

练2【全国名校联盟2018-2019高三第二次联考第12题】已知定义在实数集(R)上的函数(f(x))满足(f'(x)<2)，(f(1)=1)，(f'(x))是(f(x))的导函数，则不等式(f(|log_2x|)>2|log_2x|-1)的解集为______。

$A.(0，2)$ $B.(-infty，2)$ $C.(2，+infty)$ $D.(cfrac{1}{2}，2)$

分析：令(g(x)=f(x)-2x+1)，则(g'(x)=f'(x)-2<0)，故函数(g(x))在(R)上单调递减，

又(g(1)=f(1)-2 imes 1+1=0)，故可知(g(x)>0)时的解集为({xmid x<1})，

又由于原不等式(f(|log_2x|)>2|log_2x|-1)等价于(g(|log_2x|)>0)，

故先得到(|log_2x|<1)，即(-1<log_2x<1)，即(log_2cfrac{1}{2}<x<log_22)，

解得(cfrac{1}{2}<x<2)，故选(D)。

练3【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第16题】已知定义在实数集(R)上的函数(f(x))满足(f(1)=4)，且(f(x))的导函数(f'(x)<3)，则不等式(f(lnx)>3lnx+1)的解集为______。

提示：解得(0<x<e)，故解集为((0，e))。

• 从所求解的不等式入手，适当变形，间接用(“左-右”)的形式作差构造得到新函数；

例3【2019届宝中高三文科第二次月考第12题】定义在实数集上的偶函数(f(x))的导函数为(f'(x))，若对任意实数(x)都有(f(x)+cfrac{x}{2}f’(x)<1)恒成立，则使得关于(x)的不等式(x^2f(x)-f(1)<x^2-1)成立的实数(x)的取值范围是【】

$A.{xin R mid x eq pm 1}$ $B.(-1，1)$ $C.(-1，0)cup (0，1)$ $D.(-infty，-1)cup(1，+infty)$

分析：先将(x^2f(x)-f(1)<x^2-1)转化为(x^2f(x)-x^2<1^2f(1)-1)，

故构造(g(x)=x^2cdot f(x)-x^2)，则上述不等式等价于(g(x)<g(1))；

又由于(g'(x)=2xf(x)+x^2f(x)-2x=x(2f(x)+xf'(x)-2))，

而(f(x)+cfrac{x}{2}f’(x)<1)等价于(2f(x)+xf'(x)-2<0)

故当(x>0)时，(g'(x)=xcdot(2f(x)+xf'(x)-2)<0)，

故(xin (0，+infty))时，(g(x))单调递减；由偶函数知道(xin (-infty，0))时，(g(x))单调递增；

且(g(0)=0)，此时我们是可以画出其大致示意图的。

待解的不等式(x^2f(x)-f(1)<x^2-1)可以转化为(x^2f(x)-x^2<f(1)-1)，

即(g(x)<g(1))，由偶函数可知(g(|x|)<g(1))，

又(xin (0，+infty))时，(g(x))单调递减；

故有(|x|>1)，解得(x<-1)或(x>1)；故选(D)。

例练设函数(f(x))是定义在((0，+infty))上的可导函数，导函数是(f'(x))，且有(f(x)<-xf'(x))，则不等式(f(x+1)>(x-1)f(x^2-1))的解集为【】

$A.(0，1)$ $B.(1，+infty)$ $C.(1，2)$ $D.(2，+infty)$

提示：由(f(x)<-xf'(x))，得到(f(x)+xf'(x)<0)，(f(x+1)>(x-1)f(x^2-1))变形为((x+1)f(x+1)>(x^-1)f(x^2-1))

解析：令(g(x)=xcdot f(x))，则(g'(x)=f(x)+xf'(x)<0)，

即函数(g(x))在((0，+infty))上单调递减，

又不等式(f(x+1)>(x-1)f(x^2-1))等价于((x+1)f(x+1)>(x^2-1)f(x^2-1))，

即(g(x+1)>g(x^2-1))，由定义域和单调性可知(0<x+1<x^2-1)，

解得(x>2)，故选(D).

其余，待思考编辑

• 变形构造

高阶层次