高一必修一整合提高

例34已知函数(f(x)=|2^x-1|)，若互异的实数(a)，(b)满足方程(f(a)=f(b))，则(2^a+2^b=2)。

分析：(f(x)=|2^x-1|=left{egin{array}{l}{2^x-1，xgeqslant 0}\{1-2^x，x<0}end{array} ight.) 则由图可知，(a<0)，(b>0)

则(f(a)=1-2^a)，(f(b)=2^b-1)，由(1-2^a=2^b-1)，得到(2^a+2^b=2).

例35已知函数(f(x)=|lgx|)，若互异的实数(a)，(b)满足方程(f(a)=f(b))，则(ab=1)。

分析：(f(x)=|lgx|=left{egin{array}{l}{lgx，xgeqslant 1}\{-lgx，0<x<1}end{array} ight.) 则由图可知，(0<a<1)，(b>1)

则(f(a)=-lga)，(f(b)=lgb)，由(f(a)=f(b))，得到(-lga=lgb)，

即(lga+lgb=0)，即(lgab=0)，则(ab=1)。

例36【2019凤翔中学高三理科数学资料用题】已知函数(f(x)=egin{cases}|lgx|，&0<xleq 10\-cfrac{1}{2}x+6，&x>10end{cases})，若(a，b，c)互不相等，且满足(f(a)=f(b)=f(c))，则(abc)的取值范围是【 】

$A.(1，10)$ $B.(5，6)$ $C.(10，12)$ $D.(20，24)$

分析：做出函数的大致图像，

不妨设(a<b<c)，由题目(f(a)=f(b)=f(c))，

则(|lga|=|lgb|)，即(-lga=lgb)，即(lga+lgb=0)，

故(ab=1)，又由图可知，(10<c<12)，

故(abcin (10，12))，故选(C)。

图像专题

例1初中到高中对二次函数的研究：由研究整体图像到研究部分图像；由研究静态图像到研究动态图像；能转化为二次函数的情形；

【定轴定区间】①求函数(f(x)=x^2-3x+2(-2leq xleq 4))的值域；

写法格式：对称轴为(x=cfrac{3}{2})，函数在区间([-2，cfrac{3}{2}])上单调递减，

在区间([cfrac{3}{2}，4])上单调递增，故最小值为(f(x)_{min}=f(cfrac{3}{2})=-cfrac{1}{4})；

又(f(-2)=12)，(f(4)=6)，故最大值为(f(x)_{max}=f(-2)=12)；

则函数的值域为([-cfrac{1}{4}，12])；

②求函数(f(x)=2cdot 4^x+2^x-1(1leqslant xleqslant 2))的值域；[转化]

分析：即函数(f(x)=g(t)=2t^2+t-1(tin [2，4]))的值域；

③求函数(h(x)=2cdot log_2^2x+log_2^x-1(1leqslant xleqslant 2))的值域；[转化]

分析：即函数(h(x)=m(t)=2t^2+t-1(tin [0，1]))的值域；

④求函数(f(x)=cfrac{2-x}{x^2}(1leqslant xleqslant 2))的值域；[转化]

分析：即函数(f(x)=2(cfrac{1}{x})^2-cfrac{1}{x})

令(cfrac{1}{x}=tin [cfrac{1}{2}，1])，则原函数转化为函数

(g(t)=2t^2-t(tin [cfrac{1}{2}，1]))的值域；

【定轴动区间】求函数(f(x)=x^2-2x+1(aleq xleq a+2))的最小值(h(a))；

解：(f(x)=(x-1)^2)，对称轴为(x=1)，给定区间为([a，a+2])，针对对称轴和给定区间的位置关系分类讨论如下：

①当(a+2leqslant 1)时，即(aleqslant -1)时，函数在([a，a+2])上单调递减，故(f(x)_{min}=f(a+2)=(a+1)^2)；

②当(a<1<a+2)时，即(-1<a<1)时，故(f(x)_{min}=f(1)=0)；

③当(ageqslant 1)时，函数在([a，a+2])上单调递增，故(f(x)_{min}=f(a)=(a-1)^2)；

即函数(h(a)=left{egin{array}{l}{(a+1)^2，aleqslant 1}\{0，-1<a<1}\{(a-1)^2，ageqslant 1}end{array} ight.)

【动轴定区间】求函数(f(x)=x^2-2bx+1(1leq xleq 3))的最小值；

解：(f(x)=x^2-2bx+1)，对称轴为(x=b)，给定区间为([1，3])，针对对称轴和给定区间的位置关系分类讨论如下：

①当(bleqslant 1)时，函数在([1，3])上单调递增，故(f(x)_{min}=f(1)=2-2b)；

②当(1<b<3)时，函数在([1，3])上先减后增，故(f(x)_{min}=f(b)=-b^2+1)；

③当(bgeqslant 3)时，函数在([1，3])上单调递减，故(f(x)_{min}=f(3)=10-6b)；

即函数(f(x)_{min}=left{egin{array}{l}{2-2b，bleqslant 1}\{-b^2+1，1<b<3}\{10-6b，bgeqslant 3}end{array} ight.)

例2解关于(x)的不等式(x^2-(a^2+a)x+a^3leq 0)

分析：将原不等式等价转化为((x-a^2)(x-a)leq 0)，

其对应方程的两个根为(x=a^2)和(x=a)，分类讨论如下：

(1^{circ}) 当(a^2>a)，即(a<0)或(a>1)时，解集为([a，a^2])；

(2^{circ}) 当(a^2=a)，即(a=0)或(a=1)时，解集为({0，1})；

(3^{circ}) 当(a^2<a)，即(0<a<1)时，解集为([a^2，a])；

综上所述：

当(a<0)或(a>1)时，解集为([a，a^2])；

当(a=0)或(a=1)时，解集为({0，1})；

当(0<a<1)时，解集为([a^2，a])；

例3解关于(x)的不等式(ax^2-(a+1)x+1<0)

分析：若(a=0)时，原不等式等价于(-x+1<0)，即(x>1)；

若(a<0)时，原不等式等价于((x-cfrac{1}{a})(x-1)>0)，解得(x<cfrac{1}{a})或(x>1)；

若(a>0)时，原不等式等价于((x-cfrac{1}{a})(x-1)<0)，

当(cfrac{1}{a}=1)时，即(a=1)时，不等式无解；

当(cfrac{1}{a}<1)时，即(a>1)时，不等式解集为({xmid cfrac{1}{a}<x<1})；

当(cfrac{1}{a}>1)时，即(0<a<1)时，不等式解集为({xmid 1<x< cfrac{1}{a}})；

综上所述，

当(a<0)时，不等式解集为({xmid x<cfrac{1}{a})或(x>1})；

当(a=0)时，不等式解集为({xmid x>1})；

当(0<a<1)时，不等式解集为({xmid 1<x< cfrac{1}{a}})；

当(a=1)时，不等式解集为(varnothing)；

当(a>1)时，不等式解集为({xmid cfrac{1}{a}<x<1})；

例4[由分段函数的单调性求参数的取值范围]已知(a>0)，函数(f(x))满足(f(x)=egin{cases} (3-a)x-3 &xleq 7 \ a^{x-6} &x>7 end{cases})，函数(f(x))在(R)上单调递增，求(a)的取值范围。

分析：由题目可知，(egin{cases} &3-a>0 ① \ &a>1 ②\ &(3-a)7-3leq a^{7-6}③end{cases})；即(egin{cases}&a<3 \ &a>1 \ &age cfrac{9}{4}end{cases})

解得：(ain[cfrac{9}{4}，3))；

例5函数(f(2-x))的图像的做法，是将函数(f(x))的图像关于(y)轴对称得到函数(f(-x))，然后将(f(-x))图像向右平移(2)个单位，得到(y=f[-(x-2)]=f(2-x))的图像。

注意：左加右减的口诀是使用在变换的实质(x-2)上，而不是使用在自变量整体(2-x)上。图像变换如下：

例6作函数(y=f(x)=2^{|x-1|}-1)的图像。

做法：我们选(y=2^x)为变换的基础图像，

①先由(y=2^xxrightarrow{f(x) ightarrow f(|x|)}y=2^{|x|})，

②然后由(y=2^{|x|}xrightarrow{f(x) ightarrow f(x-1)}y=2^{|x-1|})

③然后由(y=2^{|x-1|}xrightarrow{f(x) ightarrow f(x)-1}y=2^{|x-1|}-1)

例7已知函数(f(2x+1))是奇函数，则函数(y=f(2x))的图像成中心对称的点是【】

$A.(1,0)$ $B.(-1,0)$ $C.(cfrac{1}{2},0)$ $D.(-cfrac{1}{2},0)$

分析：函数(f(2x+1))是奇函数，则其对称中心为((0,0))，而将(f(2x+1))的图像向右平移(cfrac{1}{2})个单位[即用(x-cfrac{1}{2})替换(x)后整理得到]得到函数(f(2x))，即将((0,0))向右平移(x-cfrac{1}{2})后得到对称中心为点((cfrac{1}{2},0)) ，故选(C)。

例8【2019石家庄模拟】若函数(y=f(x))的图像恒过点((1,1))，则函数(y=f(4-x))的图像一定经过点_________。

分析：将函数(y=f(x))的图像关于(y)轴对称得到函数(y=f(-x))，故(y=f(-x))一定经过点((-1,1))，再将函数(y=f(-x))的图像向右平移(4)个单位，得到函数(y=f(4-x))的图像，故函数(y=f(4-x))的图像一定经过点((3,1)).

①直线(y=kx+1)恒过定点((0，1))，利用(k imes 0+1=1)求得；
直线(y=k(x-1)+3)恒过定点((1，3))，利用(k imes 0+3=3)求得；

②函数(y=2^{x-a}+2)恒过定点((a，3))，利用(2^{a-a}+2=2^0+2=3)求得；
函数(y=log_2;{(x-a)})恒过定点((a+1，0))，利用(log_2{[(a+1)-a]}=log_21=0)求得；

③函数(y=acdot |x|)恒过定点((0，0))；函数(y=acdot x^2)恒过定点((0，0))；注意：函数(y=acdot e^x(a>0))不恒过定点((1，0))；

④函数(y=acdot x^2+1(a>0))恒过定点((1，0))；(a)的作用会改变抛物线的张角大小。

⑤若函数(y=f(x-1)+3)过定点((2，4))，则函数(y=f(x))过定点((1，1))；

若函数(y=f(x))过定点((2，4))，则函数(y=f(x-1)+3)过定点((3，7))；

作图模板

①以(f(x)=2^{|x|})为模板，可以做函数(y=2^{|xpm 3|})的图像；

②以(f(x)=log_2|x|)为模板，可以做函数(y=log_2|xpm 3|)的图像；

③以(f(x)=x+cfrac{1}{x})为模板，可以做函数(y=(x-2)+cfrac{1}{x-2}=cfrac{x^2-4x+5}{x-2})的图像；

④以(f(x)=|x|)为模板，可以做函数(y=|xpm 2|)的图像；

常用分解

①(x^2-5sqrt{2}x+8ge 0)，即((x-sqrt{2})(x-4sqrt{2})ge 0)；

②(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2leq 0)，即([x-(m+2)][x-(m-1)]leq 0)；

③(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)ge 0)；即([x-(m-1)][x-(2m+1)]ge 0)；

④(x^2+(a+a^2)x+a^3leq 0)，即((x+a)(x+a^2)leq 0)；

⑤(x^2-(a+1)x+aleq 0)，即((x-1)(x-a)leq 0)；

⑥(x^2-(2a+1)x+a(a+1)leq 0)；即((x-a)[x-(a+1)]leq 0)；

⑦(x^2+(m+4)x+m+3<0)，即((x+1)[x+(m+3)]<0)；