三角函数专题辅导题

三角函数思维导图

• 三角函数思维导图；

基础习题

例1求函数(y=lg sinx+sqrt{cos2x+frac{1}{2}})的定义域。

【解析】三角不等式常用两种解法，利用三角函数线或者三角函数图像，详解如下：

【1、单位圆+三角函数线】

如图所示，由正弦线可知，(sinx>0)得到：(xin(2kpi，2kpi+pi)(kin Z))

由余弦线可知，(cos2xge-cfrac{1}{2})

得到：(2xin[2kpi-cfrac{2pi}{3}，2kpi+cfrac{2pi}{3}](kin Z))，

所以(xin[kpi-cfrac{pi}{3}，kpi+cfrac{pi}{3}]\=[2kpi-cfrac{pi}{3}，2kpi+cfrac{pi}{3}]igcup[2kpi+cfrac{2pi}{3}，2kpi+cfrac{4pi}{3}](kin Z))，

求其交集得到(xin(2kpi，2kpi+cfrac{pi}{3}]igcup[2kpi+cfrac{2pi}{3}，2kpi+pi)(kin Z))

<img src="http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201610/992978-20161010124932071-935405354.png" / >

【2、三角函数法】转化为解三角函数不等式组(egin{cases} sinx> 0 \ cos2x+frac{1}{2}ge 0end{cases})，

解不等式(sinx>0)

得到：(xin(2kpi，2kpi+pi)(kin Z))

解不等式(cos2xge-cfrac{1}{2})

得到：(2xin[2kpi-cfrac{2pi}{3}，2kpi+cfrac{2pi}{3}](kin Z))，

所以(xin[kpi-cfrac{pi}{3}，kpi+cfrac{pi}{3}](kin ))，

求其交集得到(xin(2kpi，2kpi+cfrac{pi}{3}]igcup[2kpi+cfrac{2pi}{3}，2kpi+pi)(kin Z))

例2化简：(sqrt{2+2cos8}+2sqrt{1-sin8})

分析：如果你能注意到(8=2 imes 4)，则可能想到利用二倍角公式，想办法将被开方数凑成一个完全平方数的形式，

原式(=sqrt{2}sqrt{1+cos8}+2sqrt{1-sin8})

(=sqrt{2}sqrt{2cos^24}+2sqrt{sin^24+cos^24-2sin4cdot cos4})

(=2|cos4|+2sqrt{(sin4-cos4)^2})

(=2|cos4|+2|sin4-cos4|)

(=-2cos4-2(sin4-cos4)=-2sin4)

反思总结：(4radapprox 229^{circ})，终边在第三象限的后半段，此时(cos4>sin4)。

例3(2017高考真题 文科全国卷1的第15题)已知(alphain(0，cfrac{pi}{2}))，(tanalpha=2)，则(cos(alpha-cfrac{pi}{4}))=__________.

分析：由(tanalpha=2，alphain(0，cfrac{pi}{2}))，

故有(sinalpha=2k，cosalpha=k(k>0))，由平方关系可知(k=cfrac{sqrt{5}}{5})，

故(sinalpha=cfrac{2sqrt{5}}{5})，(cosalpha=cfrac{sqrt{5}}{5})，

则(cos(alpha-cfrac{pi}{4})=cosalphacdot coscfrac{pi}{4}+sinalphacdot sincfrac{pi}{4})

(=cfrac{sqrt{5}}{5} imes cfrac{sqrt{2}}{2}+cfrac{2sqrt{5}}{5} imes cfrac{sqrt{2}}{2})

(=cfrac{3sqrt{10}}{10})。

例4已知(vec{m}=(2sinx，sqrt{3}cosx))，(vec{n}=(cosx，2cosx))，函数(f(x)=vec{m}cdot vec{n}-sqrt{3}+1)

(f(x)=2sinxcdot cosx+2sqrt{3}cdot cos^2x-sqrt{3}+1)

(f(x)=sin2x+sqrt{3}(2cos^2x-1)+1)

(=sin2x+sqrt{3}cos2x+1)

(=2sin(2x+cfrac{pi}{3})+1)

• ①求周期；

由(T=cfrac{2pi}{2})，得到(T=pi)

• ②求值域((xin R 或 xin [-cfrac{pi}{3}，cfrac{pi}{4}]))；最值(和最值点)；

若(xin R)，则

当(sin(2x+cfrac{pi}{3})=1)时，即(2x+cfrac{pi}{3}=2kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，即(x=kpi+cfrac{pi}{12}(kin Z))时，(f(x)_{max}=2 imes1+1=3)；

当(sin(2x+cfrac{pi}{3})=-1)时，即(2x+cfrac{pi}{3}=2kpi-cfrac{pi}{2}(kin Z))，即(x=kpi-cfrac{5pi}{12}(kin Z))时，(f(x)_{max}=2 imes(-1)+1=-1)；

若(xin [-cfrac{pi}{3}，cfrac{pi}{4}])，则可得

(-cfrac{2pi}{3}leq 2xleq cfrac{pi}{2})，则(-cfrac{pi}{3}leq 2x+cfrac{pi}{3}leq cfrac{5pi}{6})，

故当(2x+cfrac{pi}{3}=-cfrac{pi}{3})，即(x=-cfrac{pi}{3})时，(f(x)_{min}=f(-cfrac{pi}{3})=2 imes (-cfrac{sqrt{3}}{2})+1=-sqrt{3}+1)；

故当(2x+cfrac{pi}{3}=cfrac{pi}{2})，即(x=cfrac{pi}{12})时，(f(x)_{max}=f(cfrac{pi}{12})=2 imes 1+1=3)；

• 求单调区间(left(xin R 或xin [-cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{2}] ight))(具体解法参见例2的法1和法2)

• 求函数(f(x))对称轴方程和对称中心坐标；

令(2x+cfrac{pi}{3}=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，得到(f(x))对称轴方程为(x=cfrac{kpi}{2}+cfrac{pi}{12}(kin Z))；

令(2x+cfrac{pi}{3}=kpi(kin Z))，得到(f(x))的对称中心坐标为((cfrac{kpi}{2}-cfrac{pi}{6}，1)(kin Z))

• 求奇偶性(left(奇函数利用f(0)=0；偶函数利用f(0)=f(x)_{max}或f(x)_{min} ight))

比如，函数(g(x)=2sin(2x+phi+cfrac{pi}{3})(phiin (0，pi)))是偶函数，求(phi)的值。

分析：由于函数(g(x))是偶函数，则在(x=0)处必然取到最值，

故有(2 imes 0+phi+cfrac{pi}{3}=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，

则(phi=kpi+cfrac{pi}{6}(kin Z))

令(k=0)，则(phi=cfrac{pi}{6}in (0，pi))，满足题意，故所求(phi=cfrac{pi}{6})时，函数(g(x))是偶函数。

典例剖析

例5【2018成都模拟,难点题目】若(sin2alpha=cfrac{sqrt{5}}{5})，(sin(eta-alpha)=cfrac{sqrt{10}}{10})，且(alphain [cfrac{pi}{4}，pi])，(etain [pi，cfrac{3pi}{2}])，则(alpha+eta)的值是【】

$A、cfrac{7pi}{4}$ $B、cfrac{9pi}{4}$ $C、cfrac{5pi}{4}或cfrac{7pi}{4}$ $D、cfrac{5pi}{4}或cfrac{9pi}{4}$

分析：此题属于给值求角，难在角的范围的压缩。

由于(alphain [cfrac{pi}{4}，pi])，(2alphain [cfrac{pi}{2}，2pi])，

但(sin2alpha=cfrac{sqrt{5}}{5})，故(2alphain [cfrac{pi}{2}，pi])，

故(alpha in [cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{2}])，难点：角的范围的压缩

所以(cos2alpha=-cfrac{2sqrt{5}}{5})，

又(alpha in [cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{2}])，(etain [pi，cfrac{3pi}{2}])，

故(eta-alphain [cfrac{pi}{2}，cfrac{5pi}{4}])，

于是，(cos(eta-alpha)=-cfrac{3sqrt{10}}{10})，

所以(cos(alpha+eta)=cos[2alpha+(eta-alpha)])

(=cos2alpha cos(eta-alpha)-sin2alpha sin(eta-alpha))

(=-cfrac{2sqrt{5}}{5} imes (-cfrac{3sqrt{10}}{10})-cfrac{sqrt{5}}{5} imes cfrac{sqrt{10}}{10})

(=cfrac{sqrt{2}}{2})

且(alpha+etain [cfrac{5pi}{4}，2pi])，故(alpha+eta=cfrac{7pi}{4})，故选(A)。

例6(2017高考真题 理科全国卷2的第17题)(Delta ABC) 的内角A，B，C的对边分别是(a，b，c)，已知(sin(A+C)=8sin^2cfrac{B}{2})。

(1)求(cosB).

分析：(sin(A+C)=sinB=8cdot cfrac{1-cosB}{2})，得到(sinB=4(1-cosB))，

即(sqrt{1-cos^2B}=4(1-cosB))，平方得到(17cos^2B-32cosB+15=0)。

由十字相乘法得到 ((17cosB-15)(cosB-1)=0)，

得到(cosB=cfrac{15}{17})或(cosB=1(舍去))，故(cosB=cfrac{15}{17})；

(2)若(a+c=6)，(S_{Delta ABC}=2)，求(b).

分析：由(cosB=cfrac{15}{17})得到(sinB=cfrac{8}{17})，

由(S_{Delta ABC}=cfrac{1}{2}acsinB=2)得到，(ac=cfrac{17}{2})，

故(b^2=a^2+c^2-2accosB=(a+c)^2-2ac-2accosB=6^2-2cdot cfrac{17}{2}-2cdot cfrac{17}{2}cdotcfrac{15}{17}=4)，

故(b=2)。

例7(2017高考真题 文科全国卷1的第11题)(Delta ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c)，已知(sinB+sinAcdot (sinC-cosC)=0，a=2，c=sqrt{2})，则(C)=________.

分析：由于(sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC)，

则有(sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0)

，即(cosAsinC+sinAsinC=0)，又因为(sinC eq 0)，

故得到(sinA+cosA=0)，即(tanA=-1) ，即(A=cfrac{3pi}{4})，

由正弦定理(cfrac{a}{sinA}=cfrac{c}{sinC})，

将(a=2，c=sqrt{2})代入得到(sinC=cfrac{1}{2})，故(C=cfrac{pi}{6})。

例8在( riangle ABC)中，已知(sqrt{2}sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC)，其中角(A、B、C)的对边分别为(a、b、c)，

(1).求角(A)的大小。

分析：由题目可知，(sqrt{2}sinBcosA=sin(A+C)=sinB)，由于(sinB eq 0)，

故得到(sqrt{2}cosA=1)，即(cosA=cfrac{sqrt{2}}{2})，又(Ain (0，pi))，

故(A=cfrac{pi}{4})。

(2).若(a=sqrt{2})，求(sqrt{2}b-2c)的取值范围。

分析：由(a=sqrt{2})，(A=cfrac{pi}{4})，可知(2R=cfrac{a}{sinA}=2)，故(b=2Rcdot sinB)，(c=2Rcdot sinC)，

故(sqrt{2}b-2c=sqrt{2} imes 2 imes sinB-2 imes 2 imes sinC=2sqrt{2}sinB-4sin(cfrac{3pi}{4}-B))

(=2sqrt{2}sinB-4(cfrac{sqrt{2}}{2}cosB+cfrac{sqrt{2}}{2}sinB))

(=-2sqrt{2}cosB)，

由于(Bin(0，cfrac{3pi}{4}))，故(cosBin (-cfrac{sqrt{2}}{2}，1))，(-2sqrt{2}cosBin (-2sqrt{2}，2))。

即(sqrt{2}b-2c)的取值范围为$ (-2sqrt{2}，2)$。

例9【2017(cdot)广东汕头一模】【求面积的最大值】已知(Delta ABC)的内角(A，B，C)的对边分别是(a，b，c)，且满足(b=c)，(cfrac{b}{a}=cfrac{1-cosB}{cosA})，若点(O)是(Delta ABC)外的一点，(angle AOB= heta(0< heta<pi))，(OA=2)，(OB=1)，则四边形(OACB)面积的最大值是【】

$A.cfrac{4+5sqrt{3}}{4}$ $B.cfrac{8+5sqrt{3}}{4}$ $C.3$ $D.cfrac{4+5sqrt{3}}{4}$

分析：由(cfrac{b}{a}=cfrac{sinB}{sinA}=cfrac{1-cosB}{cosA})，

得到(sinBcosA+cosBsinA=sinA)，即(sin(A+B)=sinA)

则(sinC=sinA)，即(A=C)，

故(a=b=c)，为等边三角形。

在(Delta AOB)中，(AB^2=2^2+1^2-2cdot 2cdot 1cdot cos heta=5-4cos heta)，

故(S_{OACB}=S_{Delta AOB}+S_{Delta ABC})

(=cfrac{1}{2}cdot 2cdot 1cdot sin heta+cfrac{sqrt{3}}{4}cdot AB^2)

(=sin heta+cfrac{sqrt{3}}{4}(5-4cos heta)=2sin( heta-cfrac{pi}{3})+cfrac{5sqrt{3}}{4})

当( heta-cfrac{pi}{3}=cfrac{pi}{2})时，即( heta=cfrac{5pi}{6}in (0，pi))时，四边形的面积有最大值，

且(S_{max}=2+cfrac{5sqrt{3}}{4}=cfrac{8+5sqrt{3}}{4})，故选(B)。

例10【2017湖南常德模拟】设函数(f(x)=|x^2-2x-1|)，若(m>n>1)，且(f(m)=f(n))，则(mn)的取值范围是【】

$A.(3,3+2sqrt{2})$ $B.(3,3+2sqrt{2}]$ $C.(1,3)$ $D.(1,3]$

法1：自行做出函数的图像，由(m>n>1)可知，(f(m)=|m^2-2m-1|=m^2-2m-1)，

(f(n)=|n^2-2n-1|=-n^2+2n+1)，

又由于(f(m)=f(n))，则(m^2-2m-1=-n^2+2n+1)，

即(m^2+n^2-2m-2n-2=0)，即((m-1)^2+(n-1)^2=4=2^2)，

则(m=1+2cos heta)，(n=1+2sin heta)，( hetain (0,cfrac{pi}{4}))，

[对角( heta)范围的说明:由(m>n>1)，得到(1+2cos heta>1+2sin heta>1)，即(cos heta>sin heta>0)，故(0< heta<cfrac{pi}{4})]

则(mn=(1+2cos heta)(1+2sin heta)=1+2(cos heta+sin heta)+4sin hetacos heta)

令(t=sin heta+cos heta)，则(2sin hetacos heta=t^2-1)

且(t=sin heta+cos heta=sqrt{2}sin( heta+cfrac{pi}{4})in (1,sqrt{2}))，

所以(mn=2t^2+2t-1=g(t))，(tin (1,sqrt{2}))，

当(t=1)时，(mn)的最小值的极限，即(g(t))最小值的极限为(g(1)=3)，

当(t=sqrt{2})时，(mn)的最大值的极限，即(g(t))最大值的极限为(g(sqrt{2})=3+2sqrt{2})，

故(mnin (3，3+2sqrt{2}))，故选(A);

法2：用图形说明，由上述的动图，我们容易知道(1<n<1+sqrt{2})，(1+sqrt{2}<m<3)，

但是由同向不等式性质，得到(1 imes(1+sqrt{2})<mn<3 imes(1+sqrt{2}))却是错误的，

[原因是所作的直线始终要和(x)轴平行，故(n ightarrow 1)时，(m ightarrow 3)，而不是(m ightarrow 1+sqrt{2})]

如果要用乘法，也应该是(1 imes 3)和((1+sqrt{2}) imes (1+sqrt{2})=3+2sqrt{2})

但是这个做法有凑答案之嫌，故最合理的做法是上述的法1；

解后反思：深入思考法1的解法，我们发现本题目还可以用来做这样的考查；

①求(m+n)的取值范围；

②求((m-1)(n-1))的取值范围；