三角函数思维导图
基础习题
【解析】三角不等式常用两种解法,利用三角函数线或者三角函数图像,详解如下:
【1、单位圆+三角函数线】
如图所示,由正弦线可知,(sinx>0)得到:(xin(2kpi,2kpi+pi)(kin Z))
由余弦线可知,(cos2xge-cfrac{1}{2})
得到:(2xin[2kpi-cfrac{2pi}{3},2kpi+cfrac{2pi}{3}](kin Z)),
所以(xin[kpi-cfrac{pi}{3},kpi+cfrac{pi}{3}]\=[2kpi-cfrac{pi}{3},2kpi+cfrac{pi}{3}]igcup[2kpi+cfrac{2pi}{3},2kpi+cfrac{4pi}{3}](kin Z)),
求其交集得到(xin(2kpi,2kpi+cfrac{pi}{3}]igcup[2kpi+cfrac{2pi}{3},2kpi+pi)(kin Z))
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【2、三角函数法】转化为解三角函数不等式组(egin{cases} sinx> 0 \ cos2x+frac{1}{2}ge 0end{cases}),
解不等式(sinx>0)
得到:(xin(2kpi,2kpi+pi)(kin Z))
解不等式(cos2xge-cfrac{1}{2})
得到:(2xin[2kpi-cfrac{2pi}{3},2kpi+cfrac{2pi}{3}](kin Z)),
所以(xin[kpi-cfrac{pi}{3},kpi+cfrac{pi}{3}](kin )),
求其交集得到(xin(2kpi,2kpi+cfrac{pi}{3}]igcup[2kpi+cfrac{2pi}{3},2kpi+pi)(kin Z))
分析:如果你能注意到(8=2 imes 4),则可能想到利用二倍角公式,想办法将被开方数凑成一个完全平方数的形式,
原式(=sqrt{2}sqrt{1+cos8}+2sqrt{1-sin8})
(=sqrt{2}sqrt{2cos^24}+2sqrt{sin^24+cos^24-2sin4cdot cos4})
(=2|cos4|+2sqrt{(sin4-cos4)^2})
(=2|cos4|+2|sin4-cos4|)
(=-2cos4-2(sin4-cos4)=-2sin4)
反思总结:(4radapprox 229^{circ}),终边在第三象限的后半段,此时(cos4>sin4)。
分析:由(tanalpha=2,alphain(0,cfrac{pi}{2})),
故有(sinalpha=2k,cosalpha=k(k>0)),由平方关系可知(k=cfrac{sqrt{5}}{5}),
故(sinalpha=cfrac{2sqrt{5}}{5}),(cosalpha=cfrac{sqrt{5}}{5}),
则(cos(alpha-cfrac{pi}{4})=cosalphacdot coscfrac{pi}{4}+sinalphacdot sincfrac{pi}{4})
(=cfrac{sqrt{5}}{5} imes cfrac{sqrt{2}}{2}+cfrac{2sqrt{5}}{5} imes cfrac{sqrt{2}}{2})
(=cfrac{3sqrt{10}}{10})。
(f(x)=2sinxcdot cosx+2sqrt{3}cdot cos^2x-sqrt{3}+1)
(f(x)=sin2x+sqrt{3}(2cos^2x-1)+1)
(=sin2x+sqrt{3}cos2x+1)
(=2sin(2x+cfrac{pi}{3})+1)
- ①求周期;
由(T=cfrac{2pi}{2}),得到(T=pi)
- ②求值域((xin R 或 xin [-cfrac{pi}{3},cfrac{pi}{4}]));最值(和最值点);
若(xin R),则
当(sin(2x+cfrac{pi}{3})=1)时,即(2x+cfrac{pi}{3}=2kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z)),即(x=kpi+cfrac{pi}{12}(kin Z))时,(f(x)_{max}=2 imes1+1=3);
当(sin(2x+cfrac{pi}{3})=-1)时,即(2x+cfrac{pi}{3}=2kpi-cfrac{pi}{2}(kin Z)),即(x=kpi-cfrac{5pi}{12}(kin Z))时,(f(x)_{max}=2 imes(-1)+1=-1);
若(xin [-cfrac{pi}{3},cfrac{pi}{4}]),则可得
(-cfrac{2pi}{3}leq 2xleq cfrac{pi}{2}),则(-cfrac{pi}{3}leq 2x+cfrac{pi}{3}leq cfrac{5pi}{6}),
故当(2x+cfrac{pi}{3}=-cfrac{pi}{3}),即(x=-cfrac{pi}{3})时,(f(x)_{min}=f(-cfrac{pi}{3})=2 imes (-cfrac{sqrt{3}}{2})+1=-sqrt{3}+1);
故当(2x+cfrac{pi}{3}=cfrac{pi}{2}),即(x=cfrac{pi}{12})时,(f(x)_{max}=f(cfrac{pi}{12})=2 imes 1+1=3);
-
求单调区间(left(xin R 或xin [-cfrac{pi}{4},cfrac{pi}{2}] ight))(具体解法参见例2的法1和法2)
-
求函数(f(x))对称轴方程和对称中心坐标;
令(2x+cfrac{pi}{3}=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z)),得到(f(x))对称轴方程为(x=cfrac{kpi}{2}+cfrac{pi}{12}(kin Z));
令(2x+cfrac{pi}{3}=kpi(kin Z)),得到(f(x))的对称中心坐标为((cfrac{kpi}{2}-cfrac{pi}{6},1)(kin Z))
- 求奇偶性(left(奇函数利用f(0)=0;偶函数利用f(0)=f(x)_{max}或f(x)_{min} ight))
比如,函数(g(x)=2sin(2x+phi+cfrac{pi}{3})(phiin (0,pi)))是偶函数,求(phi)的值。
分析:由于函数(g(x))是偶函数,则在(x=0)处必然取到最值,
故有(2 imes 0+phi+cfrac{pi}{3}=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z)),
则(phi=kpi+cfrac{pi}{6}(kin Z))
令(k=0),则(phi=cfrac{pi}{6}in (0,pi)),满足题意,故所求(phi=cfrac{pi}{6})时,函数(g(x))是偶函数。
典例剖析
分析:此题属于给值求角,难在角的范围的压缩。
由于(alphain [cfrac{pi}{4},pi]),(2alphain [cfrac{pi}{2},2pi]),
但(sin2alpha=cfrac{sqrt{5}}{5}),故(2alphain [cfrac{pi}{2},pi]),
故(alpha in [cfrac{pi}{4},cfrac{pi}{2}]),难点:角的范围的压缩
所以(cos2alpha=-cfrac{2sqrt{5}}{5}),
又(alpha in [cfrac{pi}{4},cfrac{pi}{2}]),(etain [pi,cfrac{3pi}{2}]),
故(eta-alphain [cfrac{pi}{2},cfrac{5pi}{4}]),
于是,(cos(eta-alpha)=-cfrac{3sqrt{10}}{10}),
所以(cos(alpha+eta)=cos[2alpha+(eta-alpha)])
(=cos2alpha cos(eta-alpha)-sin2alpha sin(eta-alpha))
(=-cfrac{2sqrt{5}}{5} imes (-cfrac{3sqrt{10}}{10})-cfrac{sqrt{5}}{5} imes cfrac{sqrt{10}}{10})
(=cfrac{sqrt{2}}{2})
且(alpha+etain [cfrac{5pi}{4},2pi]),故(alpha+eta=cfrac{7pi}{4}),故选(A)。
(1)求(cosB).
分析:(sin(A+C)=sinB=8cdot cfrac{1-cosB}{2}),得到(sinB=4(1-cosB)),
即(sqrt{1-cos^2B}=4(1-cosB)),平方得到(17cos^2B-32cosB+15=0)。
由十字相乘法得到 ((17cosB-15)(cosB-1)=0),
得到(cosB=cfrac{15}{17})或(cosB=1(舍去)),故(cosB=cfrac{15}{17});
(2)若(a+c=6),(S_{Delta ABC}=2),求(b).
分析:由(cosB=cfrac{15}{17})得到(sinB=cfrac{8}{17}),
由(S_{Delta ABC}=cfrac{1}{2}acsinB=2)得到,(ac=cfrac{17}{2}),
故(b^2=a^2+c^2-2accosB=(a+c)^2-2ac-2accosB=6^2-2cdot cfrac{17}{2}-2cdot cfrac{17}{2}cdotcfrac{15}{17}=4),
故(b=2)。
分析:由于(sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC),
则有(sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0)
,即(cosAsinC+sinAsinC=0),又因为(sinC eq 0),
故得到(sinA+cosA=0),即(tanA=-1) ,即(A=cfrac{3pi}{4}),
由正弦定理(cfrac{a}{sinA}=cfrac{c}{sinC}),
将(a=2,c=sqrt{2})代入得到(sinC=cfrac{1}{2}),故(C=cfrac{pi}{6})。
(1).求角(A)的大小。
分析:由题目可知,(sqrt{2}sinBcosA=sin(A+C)=sinB),由于(sinB eq 0),
故得到(sqrt{2}cosA=1),即(cosA=cfrac{sqrt{2}}{2}),又(Ain (0,pi)),
故(A=cfrac{pi}{4})。
(2).若(a=sqrt{2}),求(sqrt{2}b-2c)的取值范围。
分析:由(a=sqrt{2}),(A=cfrac{pi}{4}),可知(2R=cfrac{a}{sinA}=2),故(b=2Rcdot sinB),(c=2Rcdot sinC),
故(sqrt{2}b-2c=sqrt{2} imes 2 imes sinB-2 imes 2 imes sinC=2sqrt{2}sinB-4sin(cfrac{3pi}{4}-B))
(=2sqrt{2}sinB-4(cfrac{sqrt{2}}{2}cosB+cfrac{sqrt{2}}{2}sinB))
(=-2sqrt{2}cosB),
由于(Bin(0,cfrac{3pi}{4})),故(cosBin (-cfrac{sqrt{2}}{2},1)),(-2sqrt{2}cosBin (-2sqrt{2},2))。
即(sqrt{2}b-2c)的取值范围为$ (-2sqrt{2},2)$。
分析:由(cfrac{b}{a}=cfrac{sinB}{sinA}=cfrac{1-cosB}{cosA}),
得到(sinBcosA+cosBsinA=sinA),即(sin(A+B)=sinA)
则(sinC=sinA),即(A=C),
故(a=b=c),为等边三角形。
在(Delta AOB)中,(AB^2=2^2+1^2-2cdot 2cdot 1cdot cos heta=5-4cos heta),
故(S_{OACB}=S_{Delta AOB}+S_{Delta ABC})
(=cfrac{1}{2}cdot 2cdot 1cdot sin heta+cfrac{sqrt{3}}{4}cdot AB^2)
(=sin heta+cfrac{sqrt{3}}{4}(5-4cos heta)=2sin( heta-cfrac{pi}{3})+cfrac{5sqrt{3}}{4})
当( heta-cfrac{pi}{3}=cfrac{pi}{2})时,即( heta=cfrac{5pi}{6}in (0,pi))时,四边形的面积有最大值,
且(S_{max}=2+cfrac{5sqrt{3}}{4}=cfrac{8+5sqrt{3}}{4}),故选(B)。
法1:自行做出函数的图像,由(m>n>1)可知,(f(m)=|m^2-2m-1|=m^2-2m-1),
(f(n)=|n^2-2n-1|=-n^2+2n+1),
又由于(f(m)=f(n)),则(m^2-2m-1=-n^2+2n+1),
即(m^2+n^2-2m-2n-2=0),即((m-1)^2+(n-1)^2=4=2^2),
则(m=1+2cos heta),(n=1+2sin heta),( hetain (0,cfrac{pi}{4})),
[对角( heta)范围的说明:由(m>n>1),得到(1+2cos heta>1+2sin heta>1),即(cos heta>sin heta>0),故(0< heta<cfrac{pi}{4})]
则(mn=(1+2cos heta)(1+2sin heta)=1+2(cos heta+sin heta)+4sin hetacos heta)
令(t=sin heta+cos heta),则(2sin hetacos heta=t^2-1)
且(t=sin heta+cos heta=sqrt{2}sin( heta+cfrac{pi}{4})in (1,sqrt{2})),
所以(mn=2t^2+2t-1=g(t)),(tin (1,sqrt{2})),
当(t=1)时,(mn)的最小值的极限,即(g(t))最小值的极限为(g(1)=3),
当(t=sqrt{2})时,(mn)的最大值的极限,即(g(t))最大值的极限为(g(sqrt{2})=3+2sqrt{2}),
故(mnin (3,3+2sqrt{2})),故选(A);
法2:用图形说明,由上述的动图,我们容易知道(1<n<1+sqrt{2}),(1+sqrt{2}<m<3),
但是由同向不等式性质,得到(1 imes(1+sqrt{2})<mn<3 imes(1+sqrt{2}))却是错误的,
[原因是所作的直线始终要和(x)轴平行,故(n ightarrow 1)时,(m ightarrow 3),而不是(m ightarrow 1+sqrt{2})]
如果要用乘法,也应该是(1 imes 3)和((1+sqrt{2}) imes (1+sqrt{2})=3+2sqrt{2})
但是这个做法有凑答案之嫌,故最合理的做法是上述的法1;
解后反思:深入思考法1的解法,我们发现本题目还可以用来做这样的考查;
①求(m+n)的取值范围;
②求((m-1)(n-1))的取值范围;