常见曲线的参数方程

前言

总结梳理常见曲线的参数方程；其中抛物线和双曲线的参数方程不要求掌握；

参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线(C)上任意一点(P)的坐标(x)、(y)都是某个变数(t)的函数：

[left{egin{array}{l}{x=f(t)}\{y=g(t)}end{array} ight. ]

并且对于(t)的每一个允许的取值，由方程组确定的点((x, y))都在这条曲线(C)上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数(x)、(y)的变数(t)叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线[例如摆线]，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，有了参数方程，就可以很容易表达。

直线参数方程

直线的参数方程的形式不唯一，当选定的参数不一样时，参数方程的形式也就不一样了。

[方式1]：已知直线所过的定点((x_0，y_0))和倾斜角( heta)，则以定点到动点((x，y))的有向线段的位移为参数，可知

直线的参数方程为$$egin{cases}x=x_0+cos hetacdot ty=y_0+sin hetacdot tend{cases}(t为参数)$$

[方式2]：以定比分点为参数

[方式3]：以曲线(M)上的点与点(O)连线的斜率为参数，

例1以坐标原点(O)为极点，(x)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线(C)的极坐标方程为( ho=4cos heta)，曲线(M)的直角坐标方程为(x-2y+2=0(x>0))，以曲线(M)上的点与点(O)连线的斜率为参数，写出曲线(M)的参数方程；

分析：由(left{egin{array}{l}{x-2y+2=0(x>0)①}\{y=kx②}end{array} ight.)

解方程，消去(y)，解得(x=cfrac{2}{2k-1})，代入②得到，(y=cfrac{2k}{2k-1})，由(x=cfrac{2}{2k-1}>0)，得到(k>cfrac{1}{2})

故曲线(M)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=cfrac{2}{2k-1}}\{y=cfrac{2k}{2k-1}}end{array} ight.) ((k)为参数，(k>cfrac{1}{2}))

圆参数方程

圆((x-1)^2+(y-2)^2=4)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=1+2cos heta}\{y=2+2sin heta}end{array} ight.quad) (( heta)为参数)

椭圆参数方程

椭圆(cfrac{x^2}{4^2}+cfrac{y^2}{3^2}=1)的的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=4cos heta}\{y=3sin heta}end{array} ight.quad) (( heta)为参数)

抛物线参数方程

抛物线(y^2=4x)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=4t^2}\{y=4t}end{array} ight.quad) ((t)为参数)

双曲线参数方程

双曲线(cfrac{x^2}{4^2}-cfrac{y^2}{3^2}=1)的的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=4sec heta}\{y=3tan heta}end{array} ight.quad) (( heta)为参数)