函数与导数的关系

前言

当把函数与导数二者放置到一起时，许多高三学生都有点发懵，往往弄不清楚二者的关系，在我看来，函数应该是主题的核心内容，而导数仅仅是解决函数问题的一个工具，甚至都谈不上是唯一的工具，只是有些形式复杂的函数，为了研究其图像和性质，才不得不请出来的一个终极大法，对于比较简单的函数，我们往往采用杀鸡不用牛刀的策略来处理，以下举例作以说明。

图示说明

函数与导数关系图例

graph RL A[ 导数
解决问题工具]-->B{ 函 数
研究内容
的核心} C[其他工具
数形结合]-->B

案例说明

案例【2017(cdot) 西安模拟】已知函数(f(x)=kx^2-lnx)有两个零点，则参数(k)的取值范围为【(qquad)】

$A.k >cfrac{e}{2}$ $B.0< kcfrac{sqrt{2}e}{2}$ $D.0< k

【法1】：数形结合法[不完全分离参数法]，由于函数(f(x))的定义域为((0，+infty))，

我们将函数有两个零点的问题转化为方程(kx^2=lnx)有两个不同的实数根的问题，

再次转化为函数(y=kx^2)与函数(y=lnx)的图像有两个不同的交点，

如图设两个函数的图像相切于点为((x_0，y_0))，

则有关系式(egin{cases}2kx_0=cfrac{1}{x_0}\kx_0^2=y_0\y_0=lnx_0end{cases})，

解得(y_0=cfrac{1}{2}，x_0=sqrt{e})，即切点为((sqrt{e}，cfrac{1}{2}))，

再代入函数(y=kx^2)，求得此时的(k=cfrac{1}{2e})，

再结合函数(y=kx^2)的系数(k)的作用，可得两个函数要有两个不同的交点，

则(kin(0，cfrac{1}{2e}))。 故选(D).

【法2】：完全分离参数法，定义域为((0，+infty))，转化为方程(kx^2=lnx)有两个不同的实数根，

再转化为(k=cfrac{lnx}{x^2})有两个不同的实数根，

再转化为函数(y=k)和函数(g(x)=cfrac{lnx}{x^2})的图像有两个不同的交点，

用导数研究函数(g(x))的单调性，(g'(x)=cfrac{cfrac{1}{x}cdot x^2-lnxcdot 2x}{(x^2)^2}=cfrac{1-2lnx}{x^3})，

令(1-2lnx>0)，得到(0< x<sqrt{e})，令(1-2lnx<0)，得到(x >sqrt{e})，

即函数(g(x))在区间((0，sqrt{e}])上单调递增，在([sqrt{e}，+infty))上单调递减，

故(g(x)_{max}=g(sqrt{e})=cfrac{1}{2e})，

作出函数(g(x))和函数(y=k)的简图，由图像可得(k)的取值范围是(kin(0，cfrac{1}{2e}))。 故选(D).

解后反思：解法一可以认为是没有用导数的思路，只是在处理曲线和曲线相切时的切线时才不得不用导数这个工具。解法二大大方方的采用了导数，为什么要用导数呢，不用导数工具要研究新产生的函数(g(x))的图像和性质，只能是瞎蒙，二者相比较，我们也就能清楚定位导数的工具地位了，它是为了研究更复杂形式的函数性质而生的。

例2【2019届高三理科函数与方程课时作业第16题改编】已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{x^2-2x，xge 0}\{-x^2-2x，x<0}end{array} ight.)，若方程(f(x)=a)恰有(3)个不同的解，求(a)的取值范围。

分析：转化为函数(y=f(x))和函数(y=3)的图像恰有(3)个不同的交点，

做出两个函数的图像，由图像可知，要使其有(3)个不同的交点，

只需要(-1<a<1)，故(ain (-1，1))。

解后反思：本题目就没有用导数的方法求解；