在线|二轮辅导[05][三角函数+解三角形01]

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思维导图

• 三角函数+解三角形思维导图；本节课的重点和难点是建立思维导图，请各位自己点击链接，在个人的终端上查看阅读。

对应练习

习题回顾

去年的三角函数专题辅导；

例1化简：(sqrt{1-2sin(pi+2)cos(pi+2)})

分析：(sqrt{1-2sin(pi+2)cos(pi+2)}=sqrt{1-2sin2cos2})

(=sqrt{(sin2-cos2)^2}=|sin2-cos2|=sin2-cos2)

备注：(2rad=2 imes 57.3^{circ}，sin2>0，cos2<0，).

例2已知(x)为第三象限的角，化简：(sqrt{(1-tanx)^2+(1+tanx)^2})

分析：(sqrt{(1-tanx)^2+(1+tanx)^2}=sqrt{2+2tan^2x}=sqrt{2}cdotsqrt{1+tan^2x})

(=sqrt{2}cdotsqrt{1+cfrac{sin^2x}{cos^2x}}=sqrt{2}cdotsqrt{cfrac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}})

(=sqrt{2}cdotsqrt{cfrac{1}{cos^2x}}=sqrt{2}cfrac{1}{|cosx|}=-cfrac{sqrt{2}}{cosx})

例3化简：(sqrt{(1-sinalpha sineta)^2-cos^2alpha cos^2eta})，其中(-cfrac{pi}{2}<alpha<eta<cfrac{pi}{2})

分析：(sqrt{(1-sinalpha sineta)^2-cos^2alpha cos^2eta})

(=sqrt{(1-sinalpha sineta-cosalpha coseta)(1-sinalpha sineta+cosalpha coseta)})

(=sqrt{(1-cos(alpha-eta))(1+cos(alpha+eta)})

(=sqrt{2sin^2cfrac{alpha-eta}{2}cdot 2cos^2cfrac{alpha+eta}{2}})

(=|2sincfrac{alpha-eta}{2}coscfrac{alpha+eta}{2}|)

由于(-cfrac{pi}{2}<alpha<eta<cfrac{pi}{2})，可以得到(-pi<alpha+eta<pi)，

即(-cfrac{pi}{2}<cfrac{alpha+eta}{2}<cfrac{pi}{2})，

故(coscfrac{alpha+eta}{2}>0)；

同时能得到(-pi<alpha-eta<pi)，且(alpha-eta<0)，故(-pi<alpha-eta<0)，

则(-cfrac{pi}{2}<cfrac{alpha-eta}{2}<0)，故(sincfrac{alpha-eta}{2}<0)

故原式(=-2sincfrac{alpha-eta}{2}coscfrac{alpha+eta}{2})

例4化简(cfrac{(1+sin heta+cos heta)(sincfrac{ heta}{2}-coscfrac{ heta}{2})}{sqrt{2+2cos heta}})，其中(0< heta<pi)，

分析：原式(=cfrac{[(1+cos heta)+sin heta](sincfrac{ heta}{2}-coscfrac{ heta}{2})}{sqrt{2(1+cos heta)}})

(=cfrac{(2cos^2cfrac{ heta}{2}+2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2})(sincfrac{ heta}{2}-coscfrac{ heta}{2})}{sqrt{2cdot 2cos^2cfrac{ heta}{2}}})

(=cfrac{2coscfrac{ heta}{2}(coscfrac{ heta}{2}+sincfrac{ heta}{2})(sincfrac{ heta}{2}-coscfrac{ heta}{2})}{2coscfrac{ heta}{2}})

(=sin^2cfrac{ heta}{2}-cos^2cfrac{ heta}{2}=-cos heta)。

例5化简((cfrac{1}{tanfrac{ heta}{2}}-tancfrac{ heta}{2})cdot (1+tan hetacdot tancfrac{ heta}{2}))

分析：原式(=(cfrac{cosfrac{ heta}{2}}{sinfrac{ heta}{2}}-cfrac{sinfrac{ heta}{2}}{cosfrac{ heta}{2}})cdot (1+tan hetacdot tancfrac{ heta}{2}))

(=cfrac{2cos heta}{sin heta}cdot (1+tan hetacdot tancfrac{ heta}{2}))

(=cfrac{2cos heta}{sin heta}+2cdot tancfrac{ heta}{2})

(=cfrac{2cos heta}{sin heta}+cfrac{2cdot sinfrac{ heta}{2}cdotsinfrac{ heta}{2}cdot 2}{ cosfrac{ heta}{2}cdot sinfrac{ heta}{2}cdot 2})

(=cfrac{2cos heta}{sin heta}+cfrac{2(1-cos heta)}{sin heta})

(=cfrac{2}{sin heta})

例6化简((tanalpha+cfrac{1}{tanalpha})cdot cfrac{1}{2}sin2alpha-2cos^2alpha)

分析：切化弦，

原式(=(cfrac{sinalpha}{cosalpha}+cfrac{cosalpha}{sinalpha})cdot sinalpha cosalpha-2cos^2alpha)

(=cfrac{1}{sinalpha cosalpha}cdot sinalpha cosalpha-2cos^2alpha)

(=1-2cos^2alpha)

(=-cos2alpha)

例7【基本+综合】已知函数(f(x)=cfrac{sqrt{3}}{3}[cos(2x+cfrac{pi}{6})+4sinxcosx]+1)，(xin R)，

(1).求(f(x))的单调递减区间；

提示：化简后，(f(x)=sin(2x+cfrac{pi}{6})+1)，或者[(f(x)=cos(2x-cfrac{pi}{3})+1)]，

单调递减区间为([kpi+cfrac{pi}{6}，kpi+cfrac{2pi}{3}])，((kin Z))；

(2).令(g(x)=af(x)+b)，若函数(g(x))在区间([-cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{4}])上的值域为([-1，1])，求(a+b)的值；

提示：当(xin [-cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{4}])时，(sin(2x+cfrac{pi}{6})in [-cfrac{1}{2}，1])，

则(f(x)in [cfrac{1}{2}，2])，以下针对一次项系数(a)分类讨论如下：

①当(a>0)时，由(2a+b=1)和(cfrac{1}{2}a+b=-1)，解得(a=cfrac{4}{3})，(b=-cfrac{5}{3})，故(a+b=-cfrac{1}{3})；

②当(a<0)时，由(2a+b=-1)和(cfrac{1}{2}a+b=1)，解得(a=-cfrac{4}{3})，(b=cfrac{5}{3})，故(a+b=cfrac{1}{3})；

故(a+b)的值为(cfrac{1}{3})或(-cfrac{1}{3})；