视频地址
高三文数二轮专题检测题04讲析[三角函数与解三角形02]录制
视频链接: https://pan.baidu.com/s/1GfqXa-7hCXPOw88_pA3Xtw
提取码: gmgt
题目详解
难点解析
分析:先将不等式转化为((sin heta+cos heta+1)x^2+(2sin heta+1)x+sin heta>0),
为了便于表达,令(f(x)=(sin heta+cos heta+1)x^2+(2sin heta+1)x+sin heta),
则问题转化为(f(x)>0)在(xin [-1,0])上恒成立,
由于(sin heta+cos heta+1=sqrt{2}sin( heta+cfrac{pi}{4})+1in(0,sqrt{2}+1]),
故(sin heta+cos heta+1>0)在( hetain [0,pi))上恒成立,
故开口向上,且对称轴(x_0=-cfrac{2sin heta+1}{2(sin heta+cos heta+1)}<0)
本来我们需要考虑三种情形,但是由于(f(0)=sin hetain [0,1]),对称轴(x_0<0),
结合这些情形,可以只考虑(left{egin{array}{l}{f(-1)>0}\{f(0)>0}\{f(x_0)>0}end{array} ight.)即可,
由(f(-1)>0)得到,(cos heta>0),由(f(0)>0)得到,(sin heta>0),即(0< heta<cfrac{pi}{2}),故可以排除(C),(D)两个选项了;
难点是化简(f(x_0)>0),以下作以重点说明,
(f(x_0)=f(-cfrac{2sin heta+1}{2(sin heta+cos heta+1)}))
$=(sin heta+cos heta+1) imes[-cfrac{2sin heta+1}{2(sin heta+cos heta+1)}]^2+(2sin heta+1) imes [-cfrac{2sin heta+1}{2(sin heta+cos heta+1)}]+sin heta $
(=cfrac{(2sin heta+1)^2}{4(sin heta+cos heta+1)}-cfrac{(2sin heta+1)^2}{2(sin heta+cos heta+1)}+sin heta)
(=cfrac{-(2sin heta+1)^2}{4(sin heta+cos heta+1)}+sin heta)
(=cfrac{-4sin^2 heta-4sin heta-1+sin heta[4(sin heta+cos heta+1)]}{4(sin heta+cos heta+1)})
(=cfrac{4sin heta cos heta-1}{4(sin heta+cos heta+1)}=cfrac{2sin2 heta-1}{4(sin heta+cos heta+1)}>0),
即(sin2 heta>cfrac{1}{2}),故(cfrac{pi}{6}<2 heta<cfrac{5pi}{6}),即(cfrac{pi}{12}< heta<cfrac{5pi}{12})
结合(0< heta<cfrac{pi}{2}),可得(cfrac{pi}{12}< heta<cfrac{5pi}{12}),故选(A)。
分析:本题目需要用到动态的观点来考虑,由于(angle APB)是锐角,故点(P)只能在优弧(overset{frown}{AB})上运动,从下图中可以看出,当(P)位于优弧(overset{frown}{AB})的中点时,阴影部分的面积为最大;
此时(S_{ riangle AOP}=S_{ riangle BOP}=cfrac{1}{2}|OA||OP|sin(pi-eta)=cfrac{1}{2} imes 2^2 imes sineta=2sineta),
(S_{扇形AOB}=cfrac{1}{2}cdot lcdot r=cfrac{1}{2} imes heta imes r^2=cfrac{1}{2} imes 2eta imes 4=4eta),
故(S_{阴影}=S_{扇形AOB}+2S_{ riangle AOP}=4eta+4sineta),故选(B).