人教版|反三角函数

前言

三角函数是研究以实数[或者以角为自变量，角与实数之间是一一对应的]为自变量，以函数值为因变量的映射，简单说就是角到实数的映射；反三角函数是研究以实数为自变量，以函数值[或者以角为因变量]为因变量的映射，简单说就是实数到角的映射；同名的三角函数和反三角函数之间是互为反函数的；

正弦与反正弦

(f(x)=arcsin x)的性质列举：

①定义域为([-1,1])；值域为([-cfrac{pi}{2},cfrac{pi}{2}]);

②在([-1,1])上单调递增；③奇函数；④关于点((0,0))对称；

⑤其图像与(y=sin x,xin[-cfrac{pi}{2},cfrac{pi}{2}])的图像关于(y=x)对称；

余弦与反余弦

(g(x)=arccos x)的性质列举：

①定义域为([-1,1])；值域为([0,pi]);

②在([-1,1])上单调递减；③非奇非偶函数；④关于点((0,cfrac{pi}{2}))对称；

⑤其图像与(y=cos x,xin[0,pi])的图像关于(y=x)对称；

正切与反正切

(h(x)=arctan x)的性质列举：

①定义域为((-infty,+infty))；值域为((-cfrac{pi}{2},cfrac{pi}{2}));

②在((-infty,+infty))上单调递增；③奇函数；④关于点((0,0))对称；

⑤其图像与(y= an x,xin(-cfrac{pi}{2},cfrac{pi}{2}))的图像关于(y=x)对称；

典例剖析

例1【2020北京人大附中高一试题】(arcsin(sincfrac{2pi}{3}))=_____________.

分析：(arcsin(sincfrac{2pi}{3})=arcsin(cfrac{sqrt{3}}{2})=cfrac{pi}{3})；

例2【2020北京人大附中高一试题】(arcsin(-cfrac{1}{2})+arccos(-cfrac{sqrt{3}}{2})+arcsin(-sqrt{3}))

分析：(arcsin(-cfrac{1}{2})+arccos(-cfrac{sqrt{3}}{2})+arcsin(-sqrt{3}))

(=-cfrac{pi}{6}+cfrac{5pi}{6}-cfrac{pi}{3}=cfrac{pi}{3})

例3【2020北京人大附中高一试题】(cfrac{arcsinfrac{sqrt{3}}{2}-arccos(-frac{1}{2})}{arctan(-sqrt{3})})

分析：(cfrac{arcsinfrac{sqrt{3}}{2}-arccos(-frac{1}{2})}{arctan(-sqrt{3})})

(=cfrac{frac{pi}{3}-frac{2pi}{3}}{-frac{pi}{3}}=1)

例4【2020北京人大附中高一试题】已知直线倾斜角( heta)的范围是([0,pi))，当( heta eq cfrac{pi}{2})时，( an heta)等于直线的斜率值；则直线(x+2y+1=0)的倾斜角为【】

$A.arcsin(-cfrac{sqrt{5}}{5})$ $B.arccos(-cfrac{2sqrt{5}}{5})$ $C.arctan(-cfrac{1}{2})$ $D.-arctan(cfrac{1}{2})$

分析：由题可知，直线的斜率(k= an heta=-cfrac{1}{2})，倾斜角为钝角；

引入非零比例因子，可得到(sin heta=m)，(cos heta=-2m)，由于( hetain [0,pi))，故(m>0)，

由(m^2+(-2m)^2=1)，得到(m=cfrac{sqrt{5}}{5})，

故有(sin heta=cfrac{sqrt{5}}{5})，(cos heta=-cfrac{2sqrt{5}}{5})，( an heta=-cfrac{1}{2})，

若用反正弦刻画倾斜角，则( heta=pi-arcsin(cfrac{sqrt{5}}{5}))，故(A)错误；

若用反余弦刻画倾斜角，则( heta=arccos(-cfrac{2sqrt{5}}{5}))，故(B)正确；

若用反正切刻画倾斜角，则( heta=pi-arctan(cfrac{1}{2}))，故(C)、(D)错误；

解后反思：①由于(f(x)=arcsin x)为奇函数，故(arcsin(-cfrac{sqrt{5}}{5})=-arcsin(cfrac{sqrt{5}}{5}))为负角；

由于(f(x)=arctan x)为奇函数，故(arctan(-cfrac{1}{2})=-arctan(cfrac{1}{2}))为负角；

②(arctan(-cfrac{1}{2})=-arctan(cfrac{1}{2}))，但是(arctan(-cfrac{1}{2}) eq pi-arctan(cfrac{1}{2}))

例4【2020北京人大附中高一向量部分选做题】求证：在区间((0,cfrac{pi}{2}))内存在唯一的实数对((c,d))，(c,din(0,cfrac{pi}{2}))，且(c<d)，使得(sin(cos c)=c)，(cos(sin d)=d)成立。