正弦型函数的给出方式

前言

凡是使用正弦型思路求解的问题，自然都会与正弦型函数的给出方式有关。

使用正弦型思路考查的素材

给出角度

①用三角变换给出，高频给出方式；注意使用二倍角的正弦、余弦公式的逆用和辅助角公式的使用；

引例1当(xin [-cfrac{pi}{3}，cfrac{pi}{4}])时，求函数(f(x)=2sinxcdot cosx+2sqrt{3}cdot cos^2x-sqrt{3}+1)的值域，

解析：函数(f(x)=2sinxcdot cosx+2sqrt{3}cdot cos^2x-sqrt{3}+1)

(=2sin(2x+cfrac{pi}{3})+1)

若(xin [-cfrac{pi}{3}，cfrac{pi}{4}])，则可得

(-cfrac{2pi}{3}leq 2xleq cfrac{pi}{2})，则(-cfrac{pi}{3}leq 2x+cfrac{pi}{3}leq cfrac{5pi}{6})，

故当(2x+cfrac{pi}{3}=-cfrac{pi}{3})，即(x=-cfrac{pi}{3})时，(f(x)_{min}=f(-cfrac{pi}{3})=2 imes (-cfrac{sqrt{3}}{2})+1=-sqrt{3}+1)；

故当(2x+cfrac{pi}{3}=cfrac{pi}{2})，即(x=cfrac{pi}{12})时，(f(x)_{max}=f(cfrac{pi}{12})=2 imes 1+1=3)；

②用向量运算给出，如向量的内积或平行或垂直关系给出；注意向量的坐标运算公式的正确使用；

引例2已知(vec{m}=(2sinx，sqrt{3}cosx))，(vec{n}=(cosx，2cosx))，函数(f(x)=vec{m}cdot vec{n}-sqrt{3}+1)

(f(x)=2sinxcdot cosx+2sqrt{3}cdot cos^2x-sqrt{3}+1)

(f(x)=sin2x+sqrt{3}(2cos^2x-1)+1)

(=sin2x+sqrt{3}cos2x+1)

(=2sin(2x+cfrac{pi}{3})+1)

例1【2020人大附中高一试题第17题】如图，半径为(2)的扇形的圆心角为(120^{circ})，(M)，(N)分别是半径(OP)，(OQ)的中点，(A)为(overset{frown}{PQ})上任意一点，则(overrightarrow{AM}cdot overrightarrow{AN})的取值范围是___________。

法1：从数的角度思考[主要基于给定的是扇形，其上的点可以借助圆上的点的坐标表示，这样所有点的坐标都可以表示出来，其中点(A)是动点，其坐标可以采用引入参数的方式，其他的点的坐标都是固定的数字，这样向量就可以使用坐标表示，向量的运算也可以使用坐标表示，从而向量的内积的取值范围问题，就转化为函数的值域问题了，而为了使用坐标，常常采用主动建立平面直角坐标系的方式来完成]，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则点(P(-1,sqrt{3}))，半径(OP)的中点(M(-cfrac{1}{2},cfrac{sqrt{3}}{2}))，点(Q(2,0))，半径(OQ)的中点(N(1,0))，

动点(A)的坐标设为(A(2cos heta,2sin heta))，其中限制参数的范围为( hetain [0，cfrac{2pi}{3}])，以保证其为(overset{frown}{PQ})上任意一点，

则(overrightarrow{AM}=(-cfrac{1}{2}-2cos heta,cfrac{sqrt{3}}{2}-2sin heta))，(overrightarrow{AN}=(1-2cos heta,-2sin heta))，

则(overrightarrow{AM}cdot overrightarrow{AN}=(-cfrac{1}{2}-2cos heta)(1-2cos heta)+(cfrac{sqrt{3}}{2}-2sin heta)(-2sin heta))

(=-cfrac{1}{2}+cos heta-2cos heta+4cos^2 heta-sqrt{3}sin heta+4sin^2 heta)

(=-sqrt{3}sin heta-cos heta+4-cfrac{1}{2}=-2sin( heta+cfrac{pi}{6})+cfrac{7}{2})

由于(0leqslant hetaleqslant cfrac{2pi}{3})，故(cfrac{pi}{6}leqslant heta+cfrac{pi}{6}leqslant cfrac{5pi}{6})，

故(cfrac{1}{2}leqslant sin( heta+cfrac{pi}{6})leqslant 1)，则(cfrac{3}{2}leqslant -2sin( heta+cfrac{pi}{6})+cfrac{7}{2}leqslantcfrac{5}{2})，

即(overrightarrow{AM}cdot overrightarrow{AN})的取值范围是([cfrac{3}{2},cfrac{5}{2}]).

③用图像变换给出，注意图像变换的实质；

引例2

例3【伸缩变换】【2016洛阳模拟】已知曲线(C)的极坐标方程是( ho=2)，以极点为原点，极轴为(x)轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线(l)的参数方程为(egin{cases}x=1+t\y=2+sqrt{3}tend{cases}(t为参数))，

（1）写出直线(l)的普通方程与曲线(C)的直角坐标方程；

（2）设曲线(C)经过伸缩变换(egin{cases}x'=x\y'=cfrac{1}{2}yend{cases})得到曲线(C')，设(M(x，y))为曲线(C')上任意一点，求(x^2-sqrt{3}xy+2y^2)的最小值，并求相应的点(M)的坐标。

分析：(1)消去参数(t)，得到直线(l)的普通方程为(sqrt{3}x-y-sqrt{3}+2=0)

由( ho=2)，得到曲线(C)的直角坐标方程为(x^2+y^2=4)；

(2)曲线(C：x^2+y^2=4)经过伸缩变换(egin{cases}x'=x\y'=cfrac{1}{2}yend{cases})得到曲线(C')，

即将(x=x'，y=2y')代入(C：x^2+y^2=4)得到，(x'^2+4y'^2=4)，

整理得到曲线(C'：cfrac{x^2}{4}+y^2=1)。

由曲线(C')的参数方程得到点(M(2cos heta，sin heta))，

即(x=2cos heta，y=sin heta)，代入得到

(x^2-sqrt{3}xy+2y^2=(2cos heta)^2-sqrt{3}cdot 2cos hetacdot sin heta+2sin^2 heta)

(=4cos^2 heta+2sin^2 heta-cfrac{sqrt{3}}{2}sin2 heta)

(=2+2cos^2 heta-cfrac{sqrt{3}}{2}sin2 heta)

(=2+1+cos2 heta-cfrac{sqrt{3}}{2}sin2 heta)

(=3-2sin(2 heta-cfrac{pi}{6}))

当(2 heta-cfrac{pi}{6}=2kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，

即( heta=kpi+cfrac{pi}{3}(kin Z))时，

即点(M(1，cfrac{sqrt{3}}{2}))或(M(-1，-cfrac{sqrt{3}}{2}))时，

(x^2-sqrt{3}xy+2y^2)的最小值为1.

④用表格给出，注意表格信息的有效利用以及思考顺序，

引例2

④用图像给出，注意解读三角函数的图像信息；

引例2【有图情形】函数(f(x)=Asin(omega x+phi)+b(A>0，omega>0，|phi|<cfrac{pi}{2}))的一部分图像如图所示，则其解析式为【】

$A.f(x)=3sin(2x-cfrac{pi}{6})+1$

$B.f(x)=2sin(3x+cfrac{pi}{3})+2$

$C.f(x)=2sin(3x-cfrac{pi}{6})+2$

$D.f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+2$

分析：由图像可知，函数的最大值(M=4)，最小值(m=0)，故(A=cfrac{4-0}{2}=2)，(b=cfrac{4+0}{2}=2)，

又由于(cfrac{T}{4}=cfrac{5pi}{12}-cfrac{pi}{6}=cfrac{pi}{4})，故(T=pi)，故(omega=cfrac{2pi}{pi}=2)，

又(2 imes cfrac{pi}{6}+phi=cfrac{pi}{2})，解得(phi=cfrac{pi}{6}in (-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2}))，

故所求解析式为(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+2)，故选(D)。

例3【无图情形】【2018届湖南衡阳八中第二次月考】已知函数(y＝sin(ωx＋φ)) ((ω>0，0<φ<π))的最小正周期为(π)，且函数图象关于点((-cfrac{3pi}{8}，0))对称，则该函数的解析式为________．

分析：由于函数(y＝sin(ωx＋φ))的最小正周期为(π)，故(omega=2)，又图象关于点((-cfrac{3pi}{8}，0))对称，

则(2 imes (-cfrac{3pi}{8})+phi=kpi)，故(phi=kpi+cfrac{3pi}{4})，(kin Z) ,

当(k=0)时，(phi=cfrac{3pi}{4}in (0,pi))，故解析式为(y=sin(2x+cfrac{3pi}{4})).

引例21(三轮模拟考试理科用题)已知(f(x)=2Acos^2(omega x+phi)(A>0,omega>0,0<phi<cfrac{pi}{2}))，直线(x=cfrac{pi}{3})和点((cfrac{pi}{12},0))分别是函数(f(x))图象上相邻的一条对称轴和一个对称中心，则函数(f(x))的单调增区间为（ ）.

$A.[kpi-cfrac{2pi}{3} ，kpi-cfrac{pi}{6}](kin Z)$

$B.[kpi-cfrac{pi}{6} ，kpi+cfrac{pi}{3}](kin Z)$

$C.[kpi-cfrac{5pi}{12} ，kpi+cfrac{pi}{12}](kin Z)$

$D.[kpi+cfrac{pi}{12} ，kpi+cfrac{7pi}{12}](kin Z)$

分析：这类题目一般需要先将(f(x))转化为正弦型或者余弦型，

再利用给定的条件分别求(omega)和(phi)，由(f(x)=2Acos^2(omega x+phi)=A[cos2(omega x+phi)+1]-A=Acos(2omega x+2phi))，

故其周期为(T=cfrac{2pi}{2omega}=cfrac{pi}{omega})，

又由题目可知(cfrac{T}{4}=cfrac{pi}{3}-cfrac{pi}{12}=cfrac{pi}{4})，则(T=pi=cfrac{pi}{omega})，

故(omega=1)，则函数简化为(f(x)=Acos(2x+2phi))，再利用直线(x=cfrac{pi}{3})是函数(f(x))图象上的一条对称轴，

故(2 imes cfrac{pi}{3}+2phi=kpi,(kin Z)),解得(phi=cfrac{kpi}{2}-cfrac{pi}{3})，

令(k=1)，则(phi=cfrac{pi}{6}in (0,cfrac{pi}{2}))，满足题意，故(f(x)=Acos(2x+2phi)=Acos(2x+cfrac{pi}{3})).

令(2kpi-pileq 2x+cfrac{pi}{3}leq 2kpi(kin Z))，解得(kpi-cfrac{2pi}{3}leq x leq kpi-cfrac{pi}{6})，即单调递增区间为(A．[kpi-cfrac{2pi}{3} ，kpi-cfrac{pi}{6}](kin Z));

⑤用实际问题给出，比如求几何图像的周长、面积或者弦长，或者曲线上的动点到定直线的距离；

引例2【2017(cdot)广东汕头一模】【求面积的最大值】已知(Delta ABC)的内角(A，B，C)的对边分别是(a，b，c)，且满足(b=c)，(cfrac{b}{a}=cfrac{1-cosB}{cosA})，若点(O)是(Delta ABC)外的一点，(angle AOB= heta(0< heta<pi))，(OA=2)，(OB=1)，则四边形(OACB)面积的最大值是【】

$A.cfrac{4+5sqrt{3}}{4}$ $B.cfrac{8+5sqrt{3}}{4}$ $C.3$ $D.cfrac{4+5sqrt{3}}{4}$

分析：由(cfrac{b}{a}=cfrac{sinB}{sinA}=cfrac{1-cosB}{cosA})，

得到(sinBcosA+cosBsinA=sinA)，即(sin(A+B)=sinA)

则(sinC=sinA)，即(A=C)，

故(a=b=c)，为等边三角形。

在(Delta AOB)中，(AB^2=2^2+1^2-2cdot 2cdot 1cdot cos heta=5-4cos heta)，

故(S_{OACB}=S_{Delta AOB}+S_{Delta ABC})

(=cfrac{1}{2}cdot 2cdot 1cdot sin heta+cfrac{sqrt{3}}{4}cdot AB^2)

(=sin heta+cfrac{sqrt{3}}{4}(5-4cos heta)=2sin( heta-cfrac{pi}{3})+cfrac{5sqrt{3}}{4})

当( heta-cfrac{pi}{3}=cfrac{pi}{2})时，即( heta=cfrac{5pi}{6}in (0，pi))时，四边形的面积有最大值，

且(S_{max}=2+cfrac{5sqrt{3}}{4}=cfrac{8+5sqrt{3}}{4})，故选(B)。