争鸣|一道有限无限思想题目的思辨

前言

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题目列举

案例【2018安徽江淮十校联考】有限与无限转化是数学中的一种重要的思想方法。如在《九章算术》方田章圆田术(刘徽注)中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如(sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+cdots}}})中“(cdots)”即代表无限次重复，但原式却是个定值(x)，这可以通过方程(sqrt{2+x}=x)确定出来(x=2)，则(1+cfrac{1}{1+cfrac{1}{1+cdots}})=【】

$A.cfrac{-sqrt{5}-1}{2}$ $B.cfrac{sqrt{5}-1}{2}$ $C.cfrac{1+sqrt{5}}{2}$ $D.cfrac{1-sqrt{5}}{2}$

解析：令(1+cfrac{1}{1+cfrac{1}{1+cdots}}=x)，则左式的分母也就是(x)，即原式可以改写为(1+cfrac{1}{x}=x)，

即(x^2-x-1=0)，解得(x=cfrac{1+sqrt{5}}{2})，其中(x=cfrac{1-sqrt{5}}{2})舍去，原因是由表达式可知必有(x>0)。

故(1+cfrac{1}{1+cfrac{1}{1+cdots}}=cfrac{1+sqrt{5}}{2})，故选(C)。

解后反思：上述的解法是现有常见题库中的常见解法，但我们认为有漏洞，不应该舍去负值，以下尝试从两个角度做出说明：

[角度一]：从数的角度证伪如下，为便于计算，我们借助desmos软件的计算功能，

同时定义函数(f(x)=1+cfrac{1}{x})，相关计算如下：

由上述图形计算器软件可知，当(x=cfrac{1pm sqrt{5}}{2})时，两个值都是满足方程，故选项(C)，(D)都满足。

[角度二]：从形的角度证伪如下，

首先定义原函数[零次迭代]为(f(x)=1+cfrac{1}{x})，

则一次迭代(f(f(x))=1+cfrac{1}{f(x)}=1+cfrac{1}{1+frac{1}{x}})，

二次迭代(f(f(f(x)))=1+cfrac{1}{f(f(x))}=1+cfrac{1}{1+frac{1}{f(x)}}=1+cfrac{1}{1+frac{1}{1+frac{1}{x}}})，

三次迭代(f(f(f(f(x))))=1+cfrac{1}{f(f(f(x)))})(=1+cfrac{1}{1+frac{1}{f(f(x))}})(=1+cfrac{1}{1+frac{1}{1+frac{1}{1+frac{1}{x}}}})，

依此类推，(cdots)，直到无限次迭代，观察下图可以看出，

当迭代的次数为偶数次时，函数的图像出现在第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个象限内，图像关于直线(y=-x+1)对称；

当迭代的次数为奇数次时，函数的图像出现在第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个象限内，图像关于直线(y=-x+1)对称；

总的来说，函数的任何次迭代的图像都是关于直线(y=-x+1)对称；并且这些函数都经过公共点((cfrac{sqrt{5}+1}{2},cfrac{sqrt{5}+1}{2}))和((cfrac{1-sqrt{5}}{2},cfrac{1-sqrt{5}}{2}))，

当我们做出函数(y=x)的图像时，很显然函数(y=x)和任何次的迭代结果的函数图像始终有两个交点，

其一为((cfrac{sqrt{5}+1}{2},cfrac{sqrt{5}+1}{2}))，其二为((cfrac{1-sqrt{5}}{2},cfrac{1-sqrt{5}}{2}))，

故(x=cfrac{sqrt{5}+1}{2})或者(x=cfrac{1-sqrt{5}}{2})应该都满足题意；

即两个值都是满足题意的，故选项(C)，(D)都满足。

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