快速高效的做三角函数图像

前言

分类说明

求函数的值域问题时，可以用(omega x+phi)作为横轴，快速做图像来计算；此时比用(x)轴做图像计算快的多；

例1求函数(y=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1，xin[0，cfrac{pi}{2}])的值域。

法1：横轴为(x)，如图1所示，利用图像的变换得到函数(y=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1，xin[0，cfrac{pi}{2}])的图像，

由图像可以看出来，当(x=cfrac{pi}{2})时，函数(f(x)_{min}=2sin(2 imescfrac{pi}{2}+cfrac{pi}{6})+1=0)，

当(x=cfrac{pi}{6})时，函数(f(x)_{max}=2sin(2 imescfrac{pi}{6}+cfrac{pi}{6})+1=3)，

故函数的值域为([0，3])。

法2，整体代换，如图2所示，横轴为(2x+cfrac{pi}{6}=X)，由(0leq xleq cfrac{pi}{2})，

故(cfrac{pi}{6}leq 2x+cfrac{pi}{6}leq cfrac{7pi}{6})，则(-cfrac{1}{2}leq sin(2x+cfrac{pi}{6})leq 1)，

则(0leq 2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1leq 3)，故(0leq yleq 3)。

反思总结：

1、从作图角度讲，图2的做法由于使用了整体代换，作图过程简单明了，思路清晰，截取快捷，故常用图2的方法来做三角函数的图像。

2、用图2的方法也可以求解函数的单调区间。比如，对函数(y=2sinX+1)而言，在(Xin [cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{2}])上单调递增，即(2x+cfrac{pi}{6}in [cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{2}])上单调递增，解得(xin [0，cfrac{pi}{6}])，即函数(y=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1)在区间([0，cfrac{pi}{6}])上单调递增，和图1的单调递增区间是一样的。

求限定区间上的三角函数的单调性；

例2【2016(cdot)天津高考】已知函数(f(x)=4tanxcdot sin(cfrac{pi}{2}-x)cdot cos(x-cfrac{pi}{3})-sqrt{3})，

(1).求函数的定义域；

分析：由函数解析式可知，需要让(tanx)有意义，故定义域为({xmid x eq kpi+cfrac{pi}{2}，kin Z})

(2).试讨论(f(x))在区间([-cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{4}])上的单调性。

分析：先将所给函数化简为正弦型或者余弦型，

(f(x)=4tanxcdot cosx(cosxcdot cfrac{1}{2}+sinxcdot cfrac{sqrt{3}}{2})-sqrt{3})

(=4sinx(cosxcdot cfrac{1}{2}+sinxcdot cfrac{sqrt{3}}{2})-sqrt{3})

(=2sinxcosx+2sqrt{3}sin^2x-sqrt{3})

(=sin2x+sqrt{3}(1-cos2x)-sqrt{3})

(=sin2x-sqrt{3}cos2x)

(=2sin(2x-cfrac{pi}{3}))

法1：先求解函数在(xin R)上的单调区间，

令(2kpi-cfrac{pi}{2}< 2x-cfrac{pi}{3}< 2kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，

得到单调递增区间为((kpi-cfrac{pi}{12}，kpi+cfrac{5pi}{12})(kin Z))，

然后给(k)赋值，令(k=0)，又因为(xin [-cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{4}])，

[说明：求得的单调递增区间和给定区间求交集，即为所求的单调递增区间；剩余的即为单调递减区间]

得到函数在区间((-cfrac{pi}{12}，cfrac{pi}{4}])上单调递增，在区间([-cfrac{pi}{4}，-cfrac{pi}{12}))上单调递减。

法2：由(-cfrac{pi}{4}leq xleq cfrac{pi}{4})，求得(-cfrac{5pi}{6}leq 2x-cfrac{pi}{3}leq cfrac{pi}{6})，结合横轴为(2x-cfrac{pi}{3})的图像可知，

当(-cfrac{5pi}{6}leq 2x-cfrac{pi}{3}< -cfrac{pi}{2})时，求得函数在区间([-cfrac{pi}{4}，-cfrac{pi}{12}))单调递减；

当(-cfrac{pi}{2}< 2x-cfrac{pi}{3}leq cfrac{pi}{6})时，求得函数在区间((-cfrac{pi}{12}，cfrac{pi}{4}])单调递增；

导函数中含有三角函数且(omega=1)时，尽可能以(x)为横轴，快速作图并平移；若(omega eq 1)时，仿上例完成即可；

例1【2020届高三模拟训练】若关于(x)的方程(cfrac{me^x}{2}-sin x=0)在([-pi,-cfrac{pi}{2}])上有(2)个零点，则实数(m)的取值范围是【】

$A.(-sqrt{2}e^{frac{3pi}{4}}，0)$ $B.(-sqrt{2}e^{frac{pi}{4}}，-2e^{frac{pi}{2}}]$ $C.(-sqrt{2}e^{frac{3pi}{4}}，-2e^{frac{pi}{2}}]$ $D.(-sqrt{2}e^{frac{3pi}{4}}，-2e^{frac{pi}{2}})$

分析：由于(cfrac{me^x}{2}-sin x=0)，故(m=cfrac{2sin x}{e^x})，令(f(x)=cfrac{2sin x}{e^x})，则(f'(x)=cfrac{2sqrt{2}cos(x+cfrac{pi}{4})}{e^x})，

接下来可以从数的角度，通过解(f'(x)>0)和(f'(x)<0)求得单调区间，此处从略；

也可以从形的角度直接解读单调区间，以下重点说明如何从形的角度直接解读单调区间；

由于(e^x>0)，故主要借助函数(y=cos(x+cfrac{pi}{4}))，(xin [-pi,-cfrac{pi}{2}])，

可以先做出(y=cos x)的图像，再通过平移得到(y=cos(x+cfrac{pi}{4}))，(xin [-pi,-cfrac{pi}{2}])的图像，

可知当(xin [-pi,-cfrac{3pi}{4}))，(f'(x)<0)，当(xin (-cfrac{3pi}{4}，-cfrac{pi}{2}])时，(f'(x)>0)，

故函数(f(x))在区间([-pi,-cfrac{3pi}{4}))单调递减，在区间(xin (-cfrac{3pi}{4}，-cfrac{pi}{2}])单调递增，

又(f(-pi)=0)，(f(-cfrac{3pi}{4})=-sqrt{2}e^{frac{3pi}{4}})，(f(-cfrac{pi}{2})=-2e^{frac{pi}{2}})，

做出函数的大致图像，由图像可知，(y=m)和(y=f(x))的图像要有两个交点，

则(min (-sqrt{2}e^{frac{3pi}{4}}，-2e^{frac{pi}{2}}])，故选(C)；