函数图像上存在对称点

前言

若题目给定函数图像上存在对称点，她的求解一般不是那么能直接求解，往往首先考查我们的数学素养，即将题目进行转化的能力，思考时的角度可以从[数]和[形]两个角度来进行。那么具体该如何转化呢，请各位结合下面的题目自行体会和揣摩，耐心等待顿悟时刻的到来。

数学素养

从数的角度来说，

若函数(f(x))与函数(g(x))的图像上存在关于(x)轴的对称点，则(f(x)=-g(x))有解；

若函数(f(x))与函数(g(x))的图像上存在关于(y)轴的对称点，则(f(-x)=g(x))有解；

若函数(f(x))与函数(g(x))的图像上存在关于原点的对称点，则(f(x)=-g(-x))有解；

转化为方程有解类问题后，又或可转化为能成立类的问题，接下来往往就是分离参数，求另一端新函数的值域或者最值；

从形的角度来说，

若函数(f(x))与函数(g(x))的图像上存在关于(x)轴的对称点，则函数(y=f(x))与函数(y=-g(x))的图像有交点；

若函数(f(x))与函数(g(x))的图像上存在关于(y)轴的对称点，则函数(y=f(-x))与函数(y=g(x))的图像有交点；

若函数(f(x))与函数(g(x))的图像上存在关于原点的对称点，则函数(y=f(x))与函数(y=-g(-x))的图像有交点；

这样接下来，常常是做函数的图像，从形上入手分析，有几个交点的问题，此时需要分清楚静态函数和动态函数，尤其是找准动态函数的图像的控制要素；

分类解析

• 两个函数图像上存在关于(x)轴的对称点类问题，涉及两个函数；

例1【2017•蚌埠模拟】已知函数(f(x)=lnx-x^3)与(g(x)=x^3-ax)的图像上存在关于(x)轴的对称点，则(a)的取值范围为【 】

$A.(-infty，e)$ $B.(-infty，e]$ $C.(-infty，cfrac{1}{e})$ $D.(-infty，cfrac{1}{e}]$

法1分析：函数(f(x)=lnx-x^3)与(g(x)=x^3-ax)的图像上存在关于x轴的对称点，

即当(x=x_0)时，(f(x_0)=-g(x_0))。

所以方程(f(x)=-g(x))有解， 所以(lnx-x^3=-x^3+ax)有解，

所以(lnx=ax)在((0,+infty))有解，即方程(a=cfrac{lnx}{x})在((0,+infty))有解，

令(h(x)=cfrac{lnx}{x})，由导数知识可知，(f(x))在((0，e))上单调递增，在((e，+infty))上单调递减，

又(f(e)=cfrac{1}{e})，故函数(h(x)in (-infty，cfrac{1}{e}])，故(a)的取值范围为((-infty，cfrac{1}{e}]) ，选(D)。

法2：转换为方程(lnx=ax)在((0,+infty))有解，即函数(y=lnx)和函数(y=ax)图像在((0,+infty))上有交点，利用数形结合求解；

法3：接上转换为方程(a=cfrac{lnx}{x})在((0,+infty))有解，即函数(y=h(x)=cfrac{lnx}{x})和函数(y=a)的图像有交点，利用数形结合求解；

• 两个函数图像上存在关于(y)轴的对称点类问题，涉及两个函数；

例2【2018陕西省高三第二次质检第12题】已知函数(f(x)=e^x+2(x<0))与(g(x)=ln(x+a)+2)的图像上存在关于(y)轴对称的点，则(a)的取值范围为【 】

$A.(-infty，cfrac{1}{e})$ $B.(-infty，e)$ $C.(-cfrac{1}{e}，e)$ $D.(-e，cfrac{1}{e}]$

分析：函数(f(x)=e^x+2(x<0))与(g(x)=ln(x+a)+2)的图像上存在关于(y)轴对称的点，

即(f(-x_0)=g(x_0))能成立。即方程(f(-x)=g(x))有解，

所以当(x>0)时，(e^{-x}+2=ln(x+a)+2)有解，

即方程(e^{-x}=ln(x+a))在(x>0)时有解，即函数(y=e^x)与函数(y=ln(x+a))图像有交点，

法1：数形结合法，如右图所示可知，当函数(y=ln(x+a))过点((1，0))时，没有交点，

此时由(ln(0+a)=1)可得，(a=e)；

又由图像平移可知，需要将函数(y=ln(x+a))向右移动才会有交点，

故(a<e)，即(a)的取值范围是((-infty，e))，选(B).

法2：补集思想+计算法，由图可知，当函数(y=ln(x+a))经过点((0，1))上方时，必无交点，

即(lnage 1)时，即(age e)时，二者无交点，由补集思想可得，二者有交点时(a<e)，

即(a)的取值范围是((-infty，e))，选(B).

解后反思：在网上见到有人这样解，(lna<1)，解得(0<a<e)，这是错的(很显然，(a=0)是满足的)，原因是当(a<0)时，(lna)是没有意义的，但是此时函数(y=ln(x+a))的图像已经和(y)轴没有交点了，已经向右移动了，其渐近线也是向右移动的。

练1【学生训练题目】已知函数(f(x)=x^2+e^x-cfrac{1}{2}(x<0))与函数(g(x)=x^2+ln(x+a))的图像上存在关于(y)轴的对称点，则(a)的取值范围是【】

$A.(-infty，sqrt{e})$ $B.(-sqrt{e}，cfrac{sqrt{e}}{e})$ $C.(-infty，cfrac{sqrt{e}}{e})$ $D.(-cfrac{sqrt{e}}{e}，sqrt{e})$

提示：答案为(A)，请仿上例完成。

• 两个函数图像上存在关于原点的对称点类问题，涉及两个函数；

例3【学生训练题目】已知函数(f(x)=lnx-x^2)与函数(g(x)=x^2-cfrac{2}{x}-m)的图像上存在关于原点的对称点，则(m)的取值范围为________.

分析：由题可知，方程(f(x)=-g(-x))在(x>0)上有解，即(lnx-x^2=-x^2-cfrac{2}{x}+m)在(x>0)上有解，

则(m=lnx+cfrac{2}{x})在(x>0)上有解，设(h(x)=lnx+cfrac{2}{x}(x>0))，

则(h'(x)=cfrac{1}{x}-cfrac{2}{x^2}=cfrac{x-2}{x^2})，

故(h(x))在区间((0，2))上单调递减，在区间((2，+infty))上单调递增，

则(h(x)_{min}=h(2)=ln2+1)

即函数(h(x))的值域是([ln2+1，+infty))

故(m)的取值范围为是([ln2+1，+infty))。

• 一个分段函数图像上存在关于原点的对称点类问题，涉及一个函数；

例4【学生训练题目】已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{coscfrac{pi}{2}x-1，xgeqslant 0}\{-log_a(-x)，x<0}end{array} ight.(a>0，a eq 1))，若函数图像上关于原点对称的点至少有(3)对，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(0，cfrac{sqrt{6}}{6})$ $B.(cfrac{sqrt{6}}{6}，1)$ $C.(0，cfrac{sqrt{5}}{5})$ $D.(cfrac{sqrt{5}}{5}，1)$

分析：对题意的解析，即需要第二段函数关于原点的对称函数的图像，和第一段函数的图像的交点有(3)个以上；

首先，动手做出第一段函数的图像，(y=coscfrac{pi}{2}x-1，xgeqslant 0)，如图中红色部分；

然后初步判断，若第二段函数(y=-log_a(-x),x<0)的底数(a>1)时，其关于原点的对称函数(y=log_ax)，(x>0)和第一段函数的图像不会有两个以上的交点，故排除(a>1)；

接下来重点考虑(0<a<1)的情形，当(0<a<1)时，第二段函数关于原点的对称函数(y=log_ax)，(x>0)会随着(a)的变化和第一段函数图像有更多的交点，关键是找到控制点；

通过动态的演示，我们知道，应该让点(B)在点(A)的上方，从数的角度刻画，应该需要其满足(log_a6>-2)，

故需要同时满足条件，(left{egin{array}{l}{0<a<1}\{log_a6>-2}end{array} ight.)，^[1]

解得(left{egin{array}{l}{0<a<1}\{0<a<cfrac{sqrt{6}}{6}}end{array} ight.)，故选(A)；

解后反思：①若题目要求变化为“若函数图像上关于原点对称的点仅有(3)对”，则此时需要在原来的基础上添加条件，(log_a{10}<-2)，这样共需要满足条件：

(left{egin{array}{l}{0<a<1}\{log_a6>-2}\{log_a{10}<-2}end{array} ight.)，解得(ain (cfrac{sqrt{10}}{10},cfrac{sqrt{6}}{6}));

相关链接

函数图像的变换

分离参数法

---

1. (log_a6>-2=log_aa^{-2})，即(a^{-2}>6)，即(6a^2<1)，即(a^2<cfrac{1}{6})，即(0<a<cfrac{sqrt{6}}{6})； ↩︎