函数$f(x)=e^xpm e^{-x}$相关

前言

将函数(f(x)=e^x+e^{-x})当成一个模型函数，熟练掌握其图像的性质，会非常有助于解题。

沿袭此思路的相关扩展：(f(x)=e^x-e^{-x})

模型思考

• 熟练掌握函数：(g(x)=e^x+e^{-x})的相关性质，那么碰到研究函数(f(x)=e^{x-1}+e^{1-x})，我们就可以这样思考：

分析：函数(f(x)=e^{x-1}+e^{1-x}=g(x-1))，这样我们要做函数(f(x))的图像，

只需要先做(g(x))图像，再做函数(g(x-1))的图像。

• 研究函数(f(x)=e^x+e^{2-x})，先变形为(f(x+1)=e^{x+1}+e^{1-x}=ecdot(e^x+e^{-x}))， 备注给偶函数乘以常数得到的结果还是偶函数；

故(f(x+1))是偶函数，对称轴为(x=0)，故函数(f(x))关于直线(x=1)对称。

或者由已知(f(x)=e^x+e^{2-x})，得到(f(2-x)=e^{2-x}+e^{2-(2-x)}=e^x+e^{2-x}=f(x))，故函数(f(x))关于直线(x=1)对称。

【2018河南南阳期末】设(f(x)=e^{1+sinx}+e^{1-sinx})，(x_1，x_2in[-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2}])，且(f(x_1)>f(x_2))，则下列结论必然成立的是【】

$A.x_1 > x_2$ $B.x_1+x_2 > 0$ $C.x_1 < x_2$ $D.x_1^2 > x_2^2$

分析：(f(-x)=e^{1-sinx}+e^{1+sinx}=f(x))，故函数(f(x))为偶函数，

又当(xin[0，cfrac{pi}{2}])，(f'(x)=e^{1+sinx}cdot cosx+e^{1-sinx}cdot(-cosx)=cosx(e^{1+sinx}-e^{1-sinx})>0)，

故函数(f(x))在([0，cfrac{pi}{2}])上单调递增，则由(f(x_1)>f(x_2))得到，

(f(|x_1|)>f(|x_2|))，则有(|x_1|>|x_2|)，则(x_1^2>x_2^2)，故选(D).

法2：令(t=sinx)，由于(xin[-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2}])，则(tin [-1，1])

故原函数变形为(f(x)=e^{1+sinx}+e^{1-sinx}=e^{1+t}+e^{1-t}=g(t))，

(g(t)=e^{1+t}+e^{1-t}=ecdot(e^t+e^{-t}))，故(g(t))为偶函数，则(f(x))为偶函数；

由于(tin [-1，0])时，(g(t)=e^{1+t}+e^{1-t})单调递减，(tin [0，1])时，(g(t)=e^{1+t}+e^{1-t})单调递增，

对应于(xin [-cfrac{pi}{2}，0])时，(f(x)=e^{1+sinx}+e^{1-sinx})单调递减，(xin [0，cfrac{pi}{2}])时，(f(x)=e^{1+sinx}+e^{1-sinx})单调递增，

故由(f(x_1)>f(x_2))得到，(f(|x_1|)>f(|x_2|))，则有(|x_1|>|x_2|)，则(x_1^2>x_2^2)，故选(D).

意想不到的换元，两个不同结构的函数同时换元

【2017(cdot)全国卷3理科第12题】比如我们想研究函数(f(x)=x^2-2x+e^{x-1}+e^{1-x})的性质，

分析：令(x-1=t)时，则原函数变形为(f(x)=x^2-2x+1+e^{x-1}+e^{1-x}-1=(x-1)^2+e^{x-1}+e^{1-x}-1)

则原函数转化为(g(t)=t^2+e^t+e^{-t}-1)，

[搜索我们的知识储备]由于(y=t^2)为偶函数，且在([0，+infty))上单调递增，

由于(y=e^t+e^{-t})为偶函数，且在([0，+infty))上单调递增，

故函数(g(t)=t^2+e^t+e^{-t}-1)在([0，+infty))上单调递增，且(g(t))为偶函数。

故函数(f(x)=x^2-2x+e^{x-1}+e^{1-x})，关于直线(x=-1)对称，

[高考模拟考试拟使用]若命题(“exists xin (0,2])，不等式(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})<0”)为假命题，求参数(a)的取值范围；

提示：和引例7相比，多增加了考点：函数的储备和函数的变形运算；

[知识储备回顾：注意函数(y=e^x-e^{-x})在(xin (0,2])上单调递增且恒为正]

由题可知，命题(“forall xin (0,2])，不等式(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})geqslant 0”)为真命题，

即((e^x-e^{-x})aleqslant e^{2x}+e^{-2x})在(xin (0,2])上恒成立，

即(aleqslant cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{e^x-e^{-x}})在(xin (0,2])上恒成立，

令(cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{e^x-e^{-x}}=g(x))，需要求解函数(g(x))的最小值或最小值的极限；

化简得到，(g(x)=cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{e^x-e^{-x}}=cfrac{(e^{x}-e^{-x})^2+2}{e^x-e^{-x}})

(=e^x-e^{-x}+cfrac{2}{e^x-e^{-x}})，

令(t=e^x-e^{-x})，由于(xin (0,2])时函数(t=e^x-e^{-x})单调递增，则(tin (0,e^2-e^{-2}])，

则函数(g(x)=h(t)=t+cfrac{2}{t})，(tin (0,e^2-e^{-2}])，

由上述储备可知，函数(h(t))在区间((0,sqrt{2}])上单调递减，在区间([sqrt{2},e^2-e^{-2}])上单调递增，

故(g(x)_{min}=h(t)_{min}=h(sqrt{2})=2sqrt{2})，

故(aleqslant 2sqrt{2})，即所求的(a)的取值范围为((-infty,2sqrt{2}])；

解后反思：当得到(g(x)=e^x-e^{-x}+cfrac{2}{e^x-e^{-x}})，自然还可以使用均值不等式来求解最小值；

[高考模拟考试拟使用]若命题(“exists xin (1,2])，不等式(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x+e^{-x})<0”)为假命题，求参数(a)的取值范围；

提示：和引例8相比，本题仅仅是函数形式的不同和储备函数的不同；

[知识储备回顾：注意函数(y=e^x+e^{-x})在(xin (0,2])上单调递增且恒为正]

由题可知，命题(“forall xin (0,2])，不等式(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x+e^{-x})geqslant 0”)为真命题，

即((e^x+e^{-x})aleqslant e^{2x}+e^{-2x})在(xin (0,2])上恒成立，

即(aleqslant cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{e^x+e^{-x}})在(xin (0,2])上恒成立，

令(cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{e^x+e^{-x}}=h(x))，需要求解函数(h(x))的最小值或最小值的极限；

化简得到，(h(x)=cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{e^x+e^{-x}}=cfrac{(e^{x}+e^{-x})^2-2}{e^x+e^{-x}})

(=e^x+e^{-x}-cfrac{2}{e^x+e^{-x}})，

令(t=e^x+e^{-x})，由于(xin (0,2])时函数(t=e^x+e^{-x})单调递增，则(tin (2,e^2+e^{-2}])，

则函数(h(x)=m(t)=t-cfrac{2}{t})，(tin (2,e^2+e^{-2}])，

函数(h(t))在区间((2,e^2+e^{-2}])上单调递增，

故(h(x)_{min}=m(t)_{min} ightarrow m(2)=2-cfrac{2}{2}=1)，

即所求的(a)的取值范围为((-infty,1])；

【2020 陕西汉中模拟 节选改编】已知函数(f(x)=cfrac{x+1}{e^x})(其中 (e≈2.718…)为自然对数的底数).

(1). 若 (F(x)=f(x)-f(-x))， 求 (F(x))的单调区间；

分析：函数定义域为((-infty,+infty))，(F(x)=f(x)-f(-x)=cfrac{x+1}{e^x}+cfrac{-x+1}{e^{-x}})，

(F'(x)=cfrac{1cdot e^x-(x+1)cdot e^x}{(e^x)^2}-cfrac{-1cdot e^{-x}-(-x+1)cdot e^{-x}cdot (-1)}{(e^{-x})^2})

(=cfrac{1-x-1}{e^x}-cfrac{-1-x+1}{e^{-x}}=cfrac{-x}{e^x}+xcdot e^x)

(=xcdot(e^x-cfrac{1}{e^x})=xcdot (e^x-e^{-x}))

在同一个坐标系中，做出函数(y=x)和(y=e^x-e^{-x})的图像，由图像很快写出单调性如下：

①当(xin (-infty,0))时，由于(x<0)，(e^x-e^{-x}<0)，故(F'(x)>0)，(F(x))单调递增；

②当(x=0)时，由于(x=0)，(e^x-e^{-x}=0)，故(F'(x)=0)；

③当(xin (0,+infty))时，由于(x>0)，(e^x-e^{-x}>0)，故(F'(x)>0)，(F(x))单调递增；

即当(xin (-infty,+infty))时，故(F'(x)geqslant 0)恒成立，故(F(x))在(xin (-infty,+infty))单调递增；

即(F(x))的单调递增区间为((-infty,+infty))，没有单调递减区间。