三角函数的定义

前言

任何事物都是在发展中不断地完善的，数学概念的学习和理解也是一样的，我们以三角函数的定义为例，加以说明；

概念沿革

• 初中定义：由于受初中学生的认知能力和角的范围的限制，我们只能在 (Rt riangle) 中定义三角函数[用形来定义]：

[sin heta=cfrac{ extbf{对边}}{ extbf{斜边}} ，quadcos heta=cfrac{ extbf{邻边}}{ extbf{斜边}}，quad an heta=cfrac{ extbf{对边}}{ extbf{邻边}} ]

这种定义方式，其缺陷是三角函数的自变量 ( heta) 的范围只能是 ([0^{circ}，90^{circ}])，而高中数学中的角的范围已经扩充到了 ((-infty，+infty)) ，显然上述的初中定义已经不能用了，需要更新，应该怎么更新呢？

• 高中定义：将角放置到平面直角坐标系中，初始边放置到(x)轴的非负半轴上，终边随其落在某个象限或者坐标轴上，然后在终边上任取一点(不是原点) (P(x，y)) ，则 (r=|OP|=sqrt{x^2+y^2}) ，则[用数来定义]：

[sin heta=cfrac{y}{r} ，quad cos heta=cfrac{x}{r} ， quad an heta=cfrac{y}{x} ]

很显然，这种定义方式可以刻画 ((-infty，+infty)) 范围内的任意一个角的三角函数，而且兼容范围 ([0^{circ}，90^{circ}]) ，也就是说高中的三角函数的定义同样能解释初中的三角函数的定义，体现了数学概念发展的扬弃。

典例剖析

在平面直角坐标系中，角 (alpha) 的顶点在坐标原点，始边与 (x) 轴的非负半轴重合，若角 (alpha) 的终边经过点 (P)((sin47^{circ})(,)(cos47^{circ})) ，则 (sin(alpha-13^{circ}))的值为【(quad)】

$A.cfrac{1}{2}$ $B.cfrac{sqrt{3}}{2}$ $C.-cfrac{1}{2}$ $D.-cfrac{sqrt{3}}{2}$

法1：利用三角函数的定义，令 (P(x,y)) ，则可知 (x=sin47^{circ}) ， (y=cos47^{circ})，

则 (r=|OP|=sqrt{sin^247^{circ}+cos^247^{circ}}=1)，

故 (sinalpha=cfrac{y}{r}=cos47^{circ}) ， (cosalpha=cfrac{x}{r}=sin47^{circ}) ，

则(sin(alpha-13^{circ})=sinalphacos13^{circ}-cosalphasin13^{circ})

(=cos47^{circ}cos13^{circ}-sin47^{circ}sin13^{circ})

(=cos(47^{circ}+13^{circ})=cos60^{circ}=cfrac{1}{2})，故选 (A).

法2：借助单位圆上点的坐标， 由于 (sin47^{circ}=cos43^{circ})， (cos47^{circ}=sin43^{circ})，

点 (P) 的坐标为 ((cos43^{circ},sin43^{circ})) ，即 (alpha=43^{circ})，

[或 (alpha=k imes 360^{circ}+43^{circ})，(kin Z)，此处从简，取(k=0) ]

故 (sin(alpha-13^{circ})=sin(43^{circ}-13^{circ})=sin30^{circ}=cfrac{1}{2})，故选 (A).

在平面直角坐标系中，以坐标原点为顶点， (x) 轴的非负半轴为始边，若角 (alpha) 的终边过点 (P(3,4)) ，且将角 (alpha) 的终边绕原点逆时针旋转 (cfrac{pi}{2}) 得到的终边与角 (eta) 的终边重合，则 (sin2eta)=【(quad)】

$A.cfrac{12}{25}$ $B.-cfrac{12}{25}$ $C.-cfrac{24}{25}$ $D.cfrac{24}{25}$

解析：由三角函数定义可知， (r=|OP|=5)，则 (sinalpha=cfrac{4}{5})， (cosalpha=cfrac{3}{5})，

又由于角 (alpha) 的终边绕原点逆时针旋转 (cfrac{pi}{2}) 得到的终边与角 (eta) 的终边重合，则 (eta=alpha+cfrac{pi}{2})，

故 (sin2eta=sin2(alpha+cfrac{pi}{2})=sin(2alpha+pi)=-sin2alpha=-2sinalphacosalpha=-cfrac{24}{25})，故选 (C).

【2021届高三文数三轮模拟题】已知点 (A(cos10^{circ},sin10^{circ}))， (B(cos100^{circ},sin100^{circ}))，则 (|AB|)=【(quad)】

$A.1$ $B.sqrt{2}$ $C.sqrt{3}$ $D.2$

法1：利用两点间距离公式，通过三角函数运算解答，

(|AB|=sqrt{(cos10^{circ}-cos100^{circ})^2+(sin10^{circ}-sin100^{circ})^2})

(=sqrt{1+1-2(cos10^{circ}cdotcos100^{circ}+sin10^{circ}cdotsin100^{circ})})

(=sqrt{2-2cos(10^{circ}-100^{circ})}=sqrt{2})， 故选 (B) .

法2：利用单位圆和勾股定理解得，

如图所示，由于 (A(cos10^{circ},sin10^{circ}))， (B(cos100^{circ},sin100^{circ}))，

则点 (A) 和点 (B) 都位于单位圆上，(OA=OB=1)， 且 (OAperp OB)，

则由勾股定理可知， (|AB|=sqrt{1^2+1^2}=sqrt{2}) . 故选 (B) .