为何引入
- 对于高一的新生,往往不能理解为什么要引入这么抽象和晦涩的数学素材[集合],用以下的例子作以体会。
有了集合这种数学语言,数学内容可以表达的更加简洁和精确;
比如刻画不等式的解集;初中我们说,
不等式(x^2-3x+2leqslant 0)的解为(1leqslant)(x)(leqslant)(2),
用集合语言写为:(A)(=)({x)(mid)(x^2)(-3x)(+)(2)(leqslant)(0})(=)([1,2]);
比如刻画方程的根;初中我们说,
方程(x^2-4=0)的根为(x=2)或(x=-2),
用集合语言写为:(A)(=)({)(x)(mid)(x^2)(-)(4)(=)(0})(=)({)(-2)(,)(2)(});
再比如刻画函数的定义域和值域;
(A={xmid y=x^2-3x+1})表示函数(y=x^2-3x+1)的定义域,即不等式(x^2)(-)(3x)(+1)(leqslant)(0) 的解集;
而集合(B)(=)({)(y)(mid)(y)(=)(x^2)(-)(3x)(+)(1})表示函数(y)(=)(x^2)(-3x)(+1)的值域;
再比如刻画曲线上的点集,
集合(C={(x,y)mid y=x^2-3x+1}),表示二次函数曲线 (y)(=)(x^2)(-)(3x)(+)(1) 上的所有点构成的集合,虽然说抽象了许多,但更加简洁了许多;
引入以后
- 当我们艰难的引入集合这个概念后,有些题目会有意识的使用集合语言来表述刻画,此时需要让学生理解集合语言的应用,并适应和主动使用集合语言来刻画数学素材。
比如,不等式的解集的给出方式
分析:由于(Bsubseteq A),故(-4in A),(-2in A),
则必然满足(left{egin{array}{l}{16+4(a+1)+a<0}\{4+2(a+1)+a<0}end{array} ight.) (quad)解得(a<-4),故选(B).
方程的根的给出方式
分析:由于(2in A),则(x=2)为方程的根,
则有(2^2-3 imes 2+k=0),解得(k=2);
分析:韦达定理,(m=3),(k=2);
分析:集合(A)为单元素集合,故(Delta=0),则有(Delta=(-3)^2-4 imes 1 imes k=0),
解得,(k=cfrac{9}{4});
分析:说明方程(x^2-(a+1)x+a=0)的两个根分别为(x_1=-4),(x_2=1),故可以利用韦达定理求参数的值;
则(left{egin{array}{l}{-4+1=a+1}\{-4 imes 1=a}end{array} ight.) (quad)解得(a=-4).
函数的定义域值域的给出方式
分析:容易化简得到(B=R),而化简集合(A)时,需要针对(a)分类讨论如下:
当(a=1) 时,(A={1}),故(Acap B={1});
当(a>1) 时,(A=[1,a]),故(Acap B=[1,a]);
当(a<1) 时,(A=[a,1]),故(Acap B=[a,1]);
给出方式
- 涉及不等式的解的给出方式
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直接给出:(x=1)是不等式(x^2-2x+aleq 0)的解,求(a)的范围。
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间接给出:(A={xmid x^2-2x+aleq 0}),且({1}subsetneqq A),求(a)的范围。
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间接给出:当(x=1)时不等式(x^2-2x+aleq 0)是真命题,求(a)的范围;
当(x=1)时不等式(x^2-2x+a>0)是假命题,求(a)的范围。
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隐晦给出:集合(A={xmid x^2-2x+a>0}),(1 otin A),求(a)的范围;
涉及素材
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用集合定义充分必要条件;
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用集合定义