引入集合以后

为何引入

• 对于高一的新生，往往不能理解为什么要引入这么抽象和晦涩的数学素材[集合]，用以下的例子作以体会。

有了集合这种数学语言，数学内容可以表达的更加简洁和精确；

比如刻画不等式的解集；初中我们说，

不等式(x^2-3x+2leqslant 0)的解为(1leqslant)(x)(leqslant)(2)，

用集合语言写为：(A)(=)({x)(mid)(x^2)(-3x)(+)(2)(leqslant)(0})(=)([1,2])；

比如刻画方程的根；初中我们说，

方程(x^2-4=0)的根为(x=2)或(x=-2)，

用集合语言写为：(A)(=)({)(x)(mid)(x^2)(-)(4)(=)(0})(=)({)(-2)(,)(2)(})；

再比如刻画函数的定义域和值域；

(A={xmid y=x^2-3x+1})表示函数(y=x^2-3x+1)的定义域，即不等式(x^2)(-)(3x)(+1)(leqslant)(0) 的解集；

而集合(B)(=)({)(y)(mid)(y)(=)(x^2)(-)(3x)(+)(1})表示函数(y)(=)(x^2)(-3x)(+1)的值域；

再比如刻画曲线上的点集，

集合(C={(x,y)mid y=x^2-3x+1})，表示二次函数曲线 (y)(=)(x^2)(-)(3x)(+)(1) 上的所有点构成的集合，虽然说抽象了许多，但更加简洁了许多；

引入以后

• 当我们艰难的引入集合这个概念后，有些题目会有意识的使用集合语言来表述刻画，此时需要让学生理解集合语言的应用，并适应和主动使用集合语言来刻画数学素材。

比如，不等式的解集的给出方式

已知集合(A={xmid x^2-(a+1)x+a<0})，(B={-4,-1})，(Bsubseteq A)，求(a)的取值范围；

$A.aleqslant -4$ $B.a<-4$ $C.ageqslant -2$ $D.a>-2$

分析：由于(Bsubseteq A)，故(-4in A)，(-2in A)，

则必然满足(left{egin{array}{l}{16+4(a+1)+a<0}\{4+2(a+1)+a<0}end{array} ight.) (quad)解得(a<-4)，故选(B).

方程的根的给出方式

已知集合(A={xmid x^2-3x+k=0})，(2in A)，求(k)的值；

分析：由于(2in A)，则(x=2)为方程的根，

则有(2^2-3 imes 2+k=0)，解得(k=2);

[自编]已知集合(A={xmid x^2-mx+k=0})，(2in A)且(1in A)，求(m)和(k)的值；

分析：韦达定理，(m=3)，(k=2)；

[自编]已知集合(A={xmid x^2-3x+k=0})，且集合(A)的所有子集个数为(2)或者说成集合(A)为单元素集，或者说成集合(A)中只有一个元素，题目的结果都是一样的。(quad)，求(k)的值；

分析：集合(A)为单元素集合，故(Delta=0)，则有(Delta=(-3)^2-4 imes 1 imes k=0)，

解得，(k=cfrac{9}{4});

已知集合(A={xmid x^2-(a+1)x+a<0})，(B=(-4,1))，(B=A)，求(a)的值；

分析：说明方程(x^2-(a+1)x+a=0)的两个根分别为(x_1=-4)，(x_2=1)，故可以利用韦达定理求参数的值；

则(left{egin{array}{l}{-4+1=a+1}\{-4 imes 1=a}end{array} ight.) (quad)解得(a=-4).

函数的定义域值域的给出方式

集合(A={xmid x^2-(a+1)x+aleqslant0})，集合(B={ymid y=x^2+x+1})，求(Acap B)；

分析：容易化简得到(B=R)，而化简集合(A)时，需要针对(a)分类讨论如下：

当(a=1) 时，(A={1})，故(Acap B={1})；

当(a>1) 时，(A=[1,a])，故(Acap B=[1,a])；

当(a<1) 时，(A=[a,1])，故(Acap B=[a,1])；

给出方式

• 涉及不等式的解的给出方式

• 直接给出：(x=1)是不等式(x^2-2x+aleq 0)的解，求(a)的范围。

• 间接给出：(A={xmid x^2-2x+aleq 0})，且({1}subsetneqq A)，求(a)的范围。

• 间接给出：当(x=1)时不等式(x^2-2x+aleq 0)是真命题，求(a)的范围；

  当(x=1)时不等式(x^2-2x+a>0)是假命题，求(a)的范围。

• 隐晦给出：集合(A={xmid x^2-2x+a>0})，(1 otin A)，求(a)的范围；

涉及素材

• 用集合定义充分必要条件；

• 用集合定义