尺规作图

前言

相关定义

尺规作图（Compass-and-straightedge construction）是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

基本作图

以下是最基本最常用的尺规作图，需要重点理解和掌握；

1、作一条线段等于已知线段；

2、作一个角等于已知角；

3、作已知线段的垂直平分线；

4、作已知角的角平分线；

5、过一点作已知直线的垂线；

经典操作

九大经典操作，需要重点理解和掌握；

（1）题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段(a).

求作：线段(AB)，使(AB)=(a).

作法：

①.作射线(AP)；

②.在射线(AP)上截取(AB=a).

则线段(AB)就是所求作的图形。

（2）题目二：作已知线段的垂直平分线。

已知：如图，线段(MN).

求作：线段(PQ)，使(PQperp MN)且(PQ)平分线段(MN).

作法：

①. 分别以(M)、(N)为圆心，大于(cfrac{1}{2}MN)的相同线段为半径画弧，两弧相交于(P)，(Q)；

②. 连接(PQ)交(MN)于(O)．

则线段(PQ)就是所求作的(MN)的垂直平分线。

（3）题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，已知(angle AOB)，

求作：射线(OP)，使(angle AOP=angle BOP)，（即(OP)平分(angle AOB)）。

作法：①.②.③.④.⑤.

①.以(O)为圆心，任意长度为半径画弧，分别交(OA)，(OB)于(M)，(N)；

②.分别以(M)、(N)为圆心，大于(cfrac{1}{2}MN)的线段长为半径画弧，两弧交(angle AOB)内于(P)；

③.作射线(OP)。

则射线(OP)就是(angle AOB)的角平分线。

（4）题目四：作一个角等于已知角。

已知：如图，已知(angle AOB)，

求作：(angle A'O'B')，使得(angle AOB=angle A'O'B')，

作法：

①.作射线(O'A')；

②.以(O)为圆心，任意长度为半径画弧，交(OA)于(M)，交(OB)于(N)；

③.以(O')为圆心，以(OM)的长为半径画弧，交(O'A')于(M')；

④.以(M')为圆心，以(MN)的长为半径画弧，交前弧于(N')；

⑤.连接(O'N')并延长到(B')。

则(angle A'O'B')就是所求作的角。

（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。

已知：如图，(P)是直线(AB)上一点。

求作：直线(CD)，使得(CD)经过点(P)，且(CDperp AB)。

作法：

①.以(P)为圆心，任意长为半径画弧，交(AB)于(M)、(N)；

②.分别以(M)、(N)为圆心，大于(cfrac{1}{2}MN)的长为半径画弧，两弧交于点(Q)；

③.过(D)、(Q)作直线(CD)。

则直线(CD)是求作的直线。

（6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线

已知：如图，直线(AB)及直线外一点(P)。

求作：直线(CD)，使(CD)经过点(P)，且(CDperp AB)。

作法：

①.以(P)为圆心，以大于点(P)到直线(AB)的距离为半径画弧，交(AB)于(M)、(N)；

②.分别以(M)、(N)圆心，大于(cfrac{1}{2}MN)的长为半径画弧，两弧交于点(Q)；

③.过(P)、(Q)作直线(CD)。

则直线(CD)就是所求作的直线。

（7）题目七：已知三边作三角形。

已知：如图，线段(a)，(b)，(c).

求作：( riangle ABC)，使(AB=c)，(AC=b)，(BC=a).

作法：

①.作线段(AB=c)；

②.以(A)为圆心，以(b)为半径作弧，以(B)为圆心，以(a)为半径作弧与前弧相交于(C)；

③.连接(AC)，(BC)。

则( riangle ABC)就是所求作的三角形。

（8）题目八：已知两边及夹角作三角形。

已知：如图，线段(m)，(n), (anglealpha).

求作：( riangle ABC)，使(angle A=anglealpha) ，(AB=m)，(AC=n).

作法：

①.作(angle A=anglealpha)；

②.在(AB)上截取(AB=m)，(AC=n)；

③.连接(BC)。

则( riangle ABC)就是所求作的三角形。

（9）题目九：已知两角及夹边作三角形。

已知：如图，(anglealpha)，(angleeta)，线段(m).

求作：( riangle ABC)，使(angle A=anglealpha)，(angle B=angleeta)，(AB=m).

作法：

①.作线段(AB=m)；

②.在(AB)的同旁作(angle A=anglealpha)，作(angle B=angleeta)，(angle A)与(angle B)的另一边相交于(C)。

则( riangle ABC)就是所求作的三角形。

典例剖析

如图:107国道(OA)和320国道(OB)在某市相交于点(O)，在(angle AOB)的内部有工厂(C)和(D)，现要修建一个货站(P)，使(P)到(OA)、(OB)的距离相等且(PC)(=)(PD)，用尺规作出货站(P)的位置(不写作法,保留作图痕迹:写出结论).

分析：本题目就是求作(angle AOB)的角平分线和线段(CD)的垂直平分线的交点；

三条公路两两相交，交点分别为(A)，(B)，(C)，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问滿足要求的加油站地址有几种情况？

分析：本题目就是求作内角的角平分线的交点(或三角形的内心)和外角的角平分线的交点；

由于( riangle ABC)内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，则( riangle ABC)内角平分线的交点满足条件；

如图：点(P)是( riangle ABC)两条外角平分线的交点，过点(P)作(PE⊥AB)，(PD⊥BC)，(PF⊥AC)，

由于(PE=PF)，(PF=PD)，则有(PE)(=)(PF)(=)(PD)，

所以点(P)到( riangle ABC)的三边的距离相等，

所以( riangle ABC)两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有(3)个；

综上，到三条公路的距离相等的点有(4)个，故可供选择的地址有(4)个．