两条直线的位置关系

前言

首先需要明白，高中数学刻画直线的形式比较多，分别称为直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，还有参数方程等等；

• 点斜式：(y-y_1=k(x-x_1))(其中(l)过定点(P_1(x_1，y_1))，斜率为(k))；

缺陷：不能表示斜率不存在的直线；

• 斜截式：(y=kx+b)((k)是斜率，(b)是(y)截距)；

缺陷：不能表示斜率不存在的直线；

• 两点式：(cfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=cfrac{x-x_1}{x_2-x_1}(x_1 eq x_2，y_1 eq y_2))(两点是(P_1(x_1，y_1)、P_2(x_2，y_2)))，

缺陷：不能表示斜率不存在的和斜率为0的直线；

• 截距式：(cfrac{x}{a}+cfrac{y}{b}=1(a eq 0，b eq 0))((a,b)分别是横截距和纵截距)，

缺陷：不能表示过原点的直线；

• 一般式：(Ax+By+C=0)，

没有上述直线方程的缺陷。

同时需要注意，当我们将一般式(Ax+By+C=0)，改写为(y=-cfrac{A}{B}x-cfrac{C}{B})时，其实已经压缩一般式的内涵。

直线的一般式中，包含有两种情形：

当(B=0)时，直线变化为(x=-cfrac{C}{A})，此时直线倾斜角为(cfrac{pi}{2})，没有斜率；

当(B eq 0)时，直线变化为(y=-cfrac{A}{B}x-cfrac{C}{B})时，此时直线的斜率为(k=-cfrac{A}{B})；

平行关系

应该分直线的不同表达形式来描述直线的平行关系的充要条件；

(Ⅰ).给定直线的斜截式方程：(l_1:) (y=k_1x+b_1)；(l_2:) (y=k_2x+b_2)；

则(l_1//l_2) (Leftrightarrow) (k_1=k_2)且(b_1 eq b_2)，警示这种情形只适用直线有斜率的情形，不适用没有斜率的情形

说明:当(k_1=k_2)且(b_1=b_2)时，我们很容易理解两条直线重合；

(Ⅱ).给定直线的一般式方程：(l_1:) (A_1x+B_1y+C_1=0)；(l_2:) (A_2x+B_2y+C_2=0)；

则(l_1//l_2) (Leftrightarrow) (A_1B_2-A_2B_1=0)且(C_1B_2-C_2B_1 eq0)

说明：当(cfrac{A_1}{A_2}=cfrac{B_1}{B_2}=cfrac{C_1}{C_2})时，两条直线重合；

那么当(cfrac{A_1}{A_2}=cfrac{B_1}{B_2} eq cfrac{C_1}{C_2})时，两条直线平行；

不过这种形式由于(A eq 0)且(B eq 0)，故其没有包含两条直线中的一条没有斜率的情形，

若将分式形式改写为整式形式，就能包括上述漏掉的情形，故(A_1B_2-A_2B_1=0)且(C_1B_2-C_2B_1 eq0)

[此式对于斜率不存在或等于(0)也成立]

垂直关系

应该分直线的不同表达形式来描述直线的垂直关系的充要条件；

(Ⅰ).给定直线的斜截式方程：(l_1:) (y=k_1x+b_1)；(l_2:) (y=k_2x+b_2)；

则(l_1perp l_2) (Leftrightarrow) (k_1cdot k_2=-1)，说明这种情形只适用直线有斜率的情形，不适用没有斜率的情形

(Ⅱ).给定直线的一般式方程：(l_1:) (A_1x+B_1y+C_1=0)；(l_2:) (A_2x+B_2y+C_2=0)；

则(l_1perp l_2) (Leftrightarrow) (A_1A_2+B_1B_2=0)；[此式对于斜率不存在或等于(0)也成立]

说明：仿上述变形，将分式形式的斜率之积等于(-1)改写为整式形式的，自然就能包含斜率不存在或等于(0)的情形。

即(-cfrac{A_1}{B_1} imes (-cfrac{A_2}{B_2})=-1)，即(cfrac{A_1A_2}{B_1B_2}=-1)，

改写为整式形式，即(A_1A_2+B_1B_2=0)；

引申： 当给定 (A(x_1,y_1)) 和 (B(x_2,y_2))，求解或证明 (OAperp OB)时，若用 (k_{_{OA}}cdot k_{_{OB}}=1)，需要分类 (k)存在或者 (k) 不存在两种情形讨论，但若是采用向量形式： (x_1x_2)(+)(y_1y_2)(=0) 刻画相互垂直，就可以避免分类讨论；

典例剖析

【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第3题】若直线(x+(1+m)y-2=0)与直线(mx+2y+4=0)平行，则(m)的值为【】

$A.1$ $B.-2$ $C.1或-2$ $D.-cfrac{3}{2}$

分析：由题可知，(cfrac{1}{m}=cfrac{m+1}{2} eq cfrac{-2}{4})①，具体求解时我们往往只利用下式求值，

由(cfrac{1}{m}=cfrac{m+1}{2})②，解得(m=1)或(m=-2)，由于刚才扩大了范围，故此时需要代入①式验证，

验证得到(m=-2)时不符，故(m=1)，则选(A)。

反思：满足②式的解不见得就一定满足①式，故不要忘记验证。补充直线平行或垂直的充要条件。

【2021高三文科逻辑用语课时作业】给出下列结论:

①若命题(p:exists x_{0}in R)，( an x_{0}=1)；命题(q:forall x in R)，(x^{2}-x+1>0)；则命题“(p wedge( eg q)”)是假命题；

②已知直线(l_{1}:ax+3y-1=0)，(l_{2}:x+by+1=0)，则(l_{1}perp l_{2})的充要条件是(cfrac{a}{b}=-3)；

③命题“若(x^{2}-3x+2=0)，则 (x=1)"的逆否命题是“若(x eq 1)，则(x^{2}-3x+2 eq 0)；

其中正确结论的序号为___________.

解析: ①中命题(p)为真命题，命题(q)为真命题，所以(pwedge( eg q))为假命题， 故①正确；

②中当(b=a=0)时，有(l_{1}perp l_{2})，故②不正确；

③显然正确；所以正确结论的序号为①③；

说明：其实②中，(l_{1}perp l_{2})的充要条件是(a+3b=0)；

【2021届高三数学训练题】“(m=3)”是“直线(l_1：2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0)与直线(l_2：(m-3)x+2y-5=0)垂直”的【(quad)】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

解：由(l_1perp l_2)，得到(2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0)，解得，(m=3)或(m=-2)，

所以(m=3)是(l_1perp l_2)的充分不必要条件，故选(A).

【2021届高三数学训练题】设不同直线(l_1：2x-my-1=0)与直线(l_2：(m-1)x-y+1=0)，则“(m=2)”是“(l_1//l_2)”的【(quad)】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：当(m=2)时，代入两个直线方程，容易知道两直线平行，即充分性成立；

当(l_1//l_2)，显然(m eq 0)，否则不会有(l_1//l_2)，

从而有(2 imes(-1)-(-m)(m-1)=0)，即(m^2-m-2=0)，解得(m=2)或(m=-1)，

但是当(m=-1)时，两条直线重合，故舍去，即必要性成立，故选(C).