待定系数法

前言

当已知了函数的类型，比如一次函数(需要知道两个点的坐标)、二次函数(需要知道三个点的坐标)、指数函数(需要知道一个点的坐标)、对数函数(需要知道一个点的坐标)、幂函数(需要知道一个点的坐标)，等我们就可以用待定系数法求解析式了。

待定系数法

操作说明：适用于已知函数的类型， 比如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；

已知一次函数(f(x))满足条件(f(f(x))=x+2)，求(f(x))的解析式；

分析：由于函数(f(x))是一次函数，故我们可以合理的设函数(f(x)=ax+b)，

则(f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b=x+2)，

故有(a^2=2)，(ab+b=1)，

解得(a=1，b=1)，故所求为(f(x)=x+1)；

如图定义在([-1，+infty))上的函数(f(x))的图像由一条线段和抛物线的一部分组成，则(f(x))的解析式为____________.

分析：当(-1leqslant xleqslant 0)时，设解析式为(y=kx+b(k eq 0))，则(left{egin{array}{l}{-k+b=0}\{b=1}end{array} ight.)，

解得(left{egin{array}{l}{k=1}\{b=1}end{array} ight.)，即(y=x+1)，

当(x>0)时，设解析式为(y=a(x-2)^2-1(a eq 0))，由于图像过((4，0))，

代入解得(a=cfrac{1}{4})，即(y=cfrac{1}{4}(x-2)^2-1)，

综上所述，函数的解析式为(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1,-1leqslant x leqslant 0}\{cfrac{1}{4}(x-2)^2-1,x>0}end{array} ight.)

已知二次函数(f(x))满足(f(2)=-1)，(f(-1)=-1)，且(f(x))的最大值是(8)，试确定此二次函数的解析式。

法1：一般式，设(f(x)=ax^2+bx+c(a eq 0))，

由题意得(egin{cases}4a+2b+c=-1\a-b+c=-1\ cfrac{4ac-b^2}{4a}=8end{cases})，解得(egin{cases}a=-4\b=4\c=7end{cases})，

故(f(x)=-4x^2+4x+7)。

法2：顶点式，设(f(x)=a(x-m)^2+n)，由题意得(n=8)，又(f(2)=f(-1))，

故函数的对称轴是(x=cfrac{2+(-1)}{2}=cfrac{1}{2})，故(m=cfrac{1}{2})。

则(y=f(x)=a(x-cfrac{1}{2})^2+8)，

又(f(2)=-1)，(a(2-cfrac{1}{2})^2+8=-1)，

解得(a=-4)，故(f(x)=-4x^2+4x+7)。

法3：两根式(零点式)，由已知(f(x)+1=0)的两根(x_1=2)，(x_2=-1)，

故可设(f(x)+1=a(x+1)(x-2))，即(f(x)=ax^2-ax-2a-1)，

又函数(f(x)_{max}=8)，即(cfrac{4a(-2a-1)-a^2}{4a}=8)，

解得(a=-4)或(a=0(舍去))，故(f(x)=-4x^2+4x+7)。

[2018中考数学]已知反比例函数过点((m，m))和点((2m，-1))，求其解析式。

分析：设反比例函数的解析式为(y=cfrac{k}{x}(k eq 0))，则由反比例函数过点((m，m))和点((2m，-1))，

可知(k=m^2=-2m)，解得(m=0)(舍去)或(m=-2)，即(k=m^2=4)，

故反比例函数解析式为(y=cfrac{4}{x})。

【2017•青岛模拟改编】设函数(f(x)＝ax－cfrac{b}{x})，曲线(y＝f(x))在点((2，f(2)))处的切线方程为(7x)(－)(4y)(－)(12)(＝0)。求(f(x))的解析式；

分析：由于点((2,f(2)))既在曲线上，也在切线上，故借助切线方程(7x－4y－12＝0)可以求得(f(2)=cfrac{1}{2})；

则由点((2,cfrac{1}{2}))在曲线上，则有(2a－cfrac{b}{2}＝cfrac{1}{2})①；

又由于切线方程(7x－4y－12＝0)可化为(y＝cfrac{7}{4}x－3)，即(k=cfrac{7}{4})，

由(f'(x)＝a＋cfrac{b}{x^2})，得到(f'(2)=a＋cfrac{b}{4}＝cfrac{7}{4})②，

联立①②解得(a＝1，b＝3)，

故(f(x)＝x－cfrac{3}{x})。