高考数学错题收录

前言

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【2005福建高考数学理科第12题】(f(x)) 是定义在(R)上的以(3)为周期的奇函数， 且(f(2)=0)，则方程(f(x)=0)在区间((0,6))内解的个数的最小值是【】

$A.2$ $B.3$ $C.4$ $D.5$

分析：由于(f(x))是定义在(R)上的奇函数，故(f(0)=0)，则由(T=3)，可知(f(3)=0)，

又由于(f(2)=0)，由(T=3)，得到(f(5)=0)，

且由(f(x))是奇函数，则(f(-2)=-f(2)=0)，由(T=3)，得到(f(-2)=f(1)=f(4)=0)，

到此，能得到方程(f(x)=0)在区间((0,6))内的解有(x=1)，(x=2)，(x=3)，(x=4)，(x=5)，共(5)个，选(D)；

其实，这是有漏洞的，因为在区间((0,6))内还有解，比如，利用奇偶性和周期性就可以推出对称性，详述如下：

[egin{align*} f(x+3)&=f(x)[周期性]\ -f(-x)&=f(x)[奇偶性] end{align*} quadBigg}Longrightarrow f(x+3)=-f(-x) ]

即(f(x+3)+f(-x)=0)，即函数关于点((1.5,0))成中心对称；

令上式中(x=-1.5)，得到(f(1.5)+f(1.5)=0)，即(f(1.5)=0)，由(T=3)，还可以得到(f(4.5)=0)，

综上所述，方程(f(x)=0)在区间((0,6))内解的个数的最小值是(7)，方程的解分别是(x=1)，(x=1.5)，(x=2)，(x=3)，(x=4)，(x=4.5)，(x=5)，共(7)个；故此题目没有正确的选项；

解后反思：方程(f(x)=0)在区间([0,6])内解的个数的最小值是(9).