翻折问题

前言

典例剖析

【北京人大附中高二】【2016浙江卷】如图，已知平面四边形(ABCD)， (AB=BC=3)，(CD=1)，(AD)(=)(sqrt{5})，(angle ADC=90^{circ})，沿直线(AC)将( riangle ACD) 翻折成 ( riangle ACD')，则直线(AC) 与(BD') 所成角的余弦的最大值为__________。

法1：几何法，通过作---证---算的步骤完成。

如图所示，取(AC)的中点(O)，由于(AB=BC=3)，故(BOperp AC)，

在(Rt riangle ACD')中，(AC=sqrt{1^{2}+(sqrt{5})^{2}}=sqrt{6})，

作 (D'Eperp AC)，垂足为(E)，(D'E=cfrac{1 imessqrt{5}}{sqrt{6}}=cfrac{sqrt{30}}{6})，

(CO=cfrac{sqrt{6}}{2})，(CE=cfrac{DC^{2}}{CA}=cfrac{1}{sqrt{6}}=cfrac{sqrt{6}}{6})，故(EO=CO-CE=cfrac{sqrt{6}}{3})，

过点(B)作(BF//AC)，过点(E)作(EF//BO)交(BF)于点(F)，则(EFperp AC)，

连接(D'F)，(angle FBD')为异面直线(AC)与(BD')所成的角求作异面直线所成的角，常用的方法是将其中的一条直线平移和另一条共面，此时这两条共面直线所成的角，即两异面直线所成的角。故两异面直线所成的角的范围为((0,cfrac{pi}{2}])，此题目中，由于(AC)//(BF)，故(angle FBD')即异面直线(AC)与(BD')所成的角(quad)，

则四边形(BOEF)为矩形，所以(BF=EO=cfrac{sqrt{6}}{3})，

(EF=BO=sqrt{3^{2}-(cfrac{sqrt{6}}{2})^{2}}=cfrac{sqrt{30}}{2})，

则(angle FED')为二面角 (D'-CA-B)的平面角，设为( heta)，

则(D'F^{2}=(cfrac{sqrt{30}}{6})^{2}+(cfrac{sqrt{30}}{2})^{2}-2 imescfrac{sqrt{30}}{6} imescfrac{sqrt{30}}{2} imescos heta)

(=cfrac{25}{3}-5cos heta geqslant cfrac{10}{3})，当(cos heta=1) 时取等号，

故(BD')的最小值 (BD'_{min}=sqrt{cfrac{10}{3}+(cfrac{sqrt{6}}{3})^{2}}=2)，

故直线(AC)与(BD')所成角(alpha)的余弦在(Rt riangle BFD')中，(cos)(alpha)(=)(cfrac{邻}{斜})，由于邻边(BF)长度不变，故斜边(BD')最小时，(cosalpha)的值最大；(quad)的最大值([cosalpha]_{max}=cfrac{BF}{BD'}=cfrac{frac{sqrt{6}}{3}}{2}=cfrac{sqrt{6}}{6})

法2： 也可以考虑使用空间向量法；