设元的技巧

前言

高中数学的学习中，少不了设元。

比例设元

比如已知(a:b:c=2:3:4)，则设(a=2k)，(b=3k)，(c=4k)，且(k eq 0)；

已知( riangle ABC)中的三边之比为(a:b:c=2:3:4)，则设(a=2k)，(b=3k)，(c=4k)，且(k>0)；

已知椭圆中的(cfrac{a}{b}=2)，则设(a=2k)，(b=k)，则(c=sqrt{3}k)，且(k>0)；

已知( an alpha=2)，则可设(sinalpha=2k)，(cosalpha=k)，且(k eq 0)，

故可知((2k)^2+k^2=1)，得到(k=pm cfrac{sqrt{5}}{5})；即可得到(sinalpha)和(cosalpha)的值；

数列设元

①. 当题目已知三个数成等差数列时，我们常常依次设三个数为(a-d)，(a)，(a+d)，这样设元的优越性在于其和为(3a)，如果题目恰好已知了其和的值，则中间的数立马可知，这样变量就剩下一个(d)了；

当已知五个数成等差数列时，常设为(a-2d)，(a-d)，(a)，(a+d)，(a+2d)；

②. 当题目已知三个数成等比数列时，我们常常依次设三个数为(cfrac{a}{q})，(a)，(aq)，这样设元的优越性在于其积为(a^3)，如果题目恰好已知了其积的值，则中间的数立马可知，这样变量就剩下一个(q)了；

当已知五个数成等差数列时，常设为(cfrac{a}{q^2})，(cfrac{a}{q})，(a)，(aq)，(aq^2)；

动点设元

• 如果直线上或者线段上有一个动点，则常常如下设置并引入动点，假设棱(BC)上存在点(F)，使得(MF//PC)，设(overrightarrow{BF})(=)(lambdaoverrightarrow{BC})， 配套题目如下：

【北京人大附中高二阶段检测第20题改编】在四棱锥(P-ABCD)中，平面(ABCDperp)平面(PCD)，底面(ABCD)为梯形， (AB//CD)，(ADperp PC)，且(AB=1)，(AD=DC=DP=2)，(angle PDC=120^{circ})，(M)是棱(PA)的中点.

(2). 求证：对于棱(BC)上任意一点(F)，(MF)与(PC)都不平行；

【法3】：[利用空间向量，从数的角度思考]因为(ADperp) 平面(PCD)，所以(ADperp CD)，又由于(DHperp CD)，(DHperp AD)，

以(D)为原点，(DA)，(DC)，(DH)所在直线分别为(x)，(y)，(z)轴，建立空间直角坐标系，

所以 (D(0,0,0))，(A(2,0,0))，(P(0,-1, sqrt{3}))，(C(0,2,0))，(B(2,1,0))，

假设棱(BC)上存在点(F)，使得(MF//PC)，设(overrightarrow{BF}=lambdaoverrightarrow{BC})注意这一典型的设动点的技巧；我们一般设动点后，立刻想到的是设其坐标((x,y,z))，但是这一技巧将动点(F)依托于线段(BC)，此时若利用向量，只需要设一个元(lambda)即可，一下子就让变量的数量减少，我们的思维的量和思维难度自然也就降下来了。(quad)，

则(overrightarrow{MF}=overrightarrow{MB}+overrightarrow{BF}=(1,cfrac{3}{2},-cfrac{sqrt{3}}{2})+lambda(-2,1,0)=(-2lambda+1,lambda+cfrac{3}{2},-cfrac{sqrt{3}}{2}))，

由于(MF//PC)，所以(overrightarrow{MF}=muoverrightarrow{PC}=mu(0,3,-sqrt{3}))，

故必须满足方程组(left{egin{array}{l}{-2lambda+1=0}\{lambda+cfrac{3}{2}=3mu}\{-cfrac{sqrt{3}}{2}=sqrt{3}mu}end{array} ight.)，

此方程组无解，所以假设错误，问题得证；

抛物线设元

对抛物线(y^2=8x)而言，如果需要取其上一个动点，坐标设为((2t^2，4t))，就比设为((x，y))或者((x，pm 2sqrt{2}x))要好计算的多，且不容易出错；

直线设元

待定系数法的设法技巧：当直线经过点((0,1))时，我们常常设其解析式为(y=kx+1)，当直线经过点((1,0))时，我们常常设其解析式为(x=ky+1)，