前言
在函数与方程章节中，我们研究过函数的零点，其常用的求解思路有①解方程法，应该排在首位，能解则解；②零点存在性定理；③数形结合法；当时使用的数形结合法，还没有渗透使用导数的方法，能处理的函数类型和函数的复杂程度都是很有限的，当引入导数这一利器，研究函数的范围、类型和眼界一下子开阔了许多，所以，请仔细体会导数素材的工具性；
含参函数的零点
(1).求函数 (f(x)) 的单调区间；
分析：由于(f(x)=2a^{2}ln x-x^{2})，定义域为((0,+infty))，
则(f^{prime}(x)=cfrac{2 a^{2}}{x}-2x=cfrac{2a^{2}-2 x^{2}}{x})(=cfrac{-2(x-a)(x+a)}{x})
借助分子函数(y=-2(x+a)(x-a))的图像，判断如下：
由于(a>0)，故当 (0<x<a) 时, (f^{prime}(x)>0)，当 (x>a) 时, (f^{prime}(x)<0).
故(f(x)) 的单调递增区间是 ((0, a))，单调递减区间是 ((a,+infty))。
(2)讨论函数 (f(x)) 在区间((1，e^2))上零点的个数((e) 为自然对数的底数)...
分析： 由(1)得 (f(x)_{max }=f(a))(=a^{2}(2ln a-1))，
借助函数的最大值的正负，讨论函数 (f(x)) 的零点情况如下:
①当 (a^{2}(2 ln a-1)<0)，即 (0<a<sqrt{e})时，函数无零点，
②(a^{2}(2 ln a-1)=0)， 即 (a=sqrt{e})时，函数在((0,+infty))有一个零点，
又由于(1<a=sqrt{e}<e^2)，故(f(x)) 在 ((1, e^2)) 内有一个零点；
③当 (a^{2}(2 ln a-1)>0)时，即 (a>sqrt{mathrm{e}}) 时，由于 (f(1)=-1<0)，(f(a)=a^{2}(2ln a-1)>0)，
(f(e^2)=2a^{2}ln(e^2)-{e}^{4}=4a^{2}-{e}^{4})
(=(2a-{e}^{2})(2a+e^{2})) (quadquad)注意，此时((2a+e^2>0))恒成立；
(quadquad)当 (2a-e^2<0)，即(sqrt{e}<a<cfrac{{e}^{2}}{2}) 时，(1<sqrt{e}<a<cfrac{{e}^{2}}{2}<e^{2})，
(f({e}^{2})<0)，由函数 (f(x)) 的单调性可知，函数 (f(x)) 在 ((1, a)) 内有唯一零点 (x_{1})，
在 ((a, {e}^{2})) 内有唯一零点 (x_{2}) ，则(f(x)) 在 ((1, {e}^{2})) 内有两个零点.
(quadquad)当(2a-{e}^{2}geqslant 0)， 即 (a geqslant cfrac{e^2}{2}>sqrt{e})时，
(f(e^2)geqslant 0)，而且 (f(e)=2a^{2}cdot cfrac{1}{2}-e=a^{2}-e>0)，(f(1)=-1<0)，
由函数的单调性可知，无论(a geqslant e^2)，还是(cfrac{e^2}{2}leqslant a<e^{2})，
(f(x)) 在 ((1, sqrt{e})) 内有唯一的零点，在 ((sqrt{e}, e^2)) 内没有零点，
从而 (f(x)) 在 ((1, e^2)) 内只有一个零点.
综上所述，当(0<a<sqrt{e})时，函数无零点，
当(a=sqrt{e})或(ageqslant cfrac{e^2}{2})时，函数在((1,e^2))有一个零点，
当 (sqrt{e}<a<cfrac{e^2}{2}) 时， 函数 (f(x)) 在区间 ((1, e^2)) 上有两个零点.